Moviment harmònic simple

a)

Freqüència. Cada puntada és una oscil·lació completa de l'agulla, de manera que la freqüència és el nombre de puntades per segon: ν = 1 800 / 60 s = 30 Hz.

Amplitud. Entre els dos extrems hi ha dues amplituds: 2A = 20 mm → A = 10 mm = 0,010 m.

Equació. Prenem l'eix y vertical i positiu cap amunt. Si a t = 0 l'agulla és a y = +A, la funció cosinus no necessita fase inicial: y(t) = A·cos(2πν·t).

Amb valors. 2πν = 2π·30 = 60π ≈ 1,88·10² rad/s, per tant y(t) = 0,010·cos(1,88·10²·t) m. Si s'escriu amb sinus, cal afegir una fase de π/2: y(t) = 0,010·sin(1,88·10²·t + π/2) m.

b)

Velocitat. Derivem la posició respecte del temps: v_y(t) = dy/dt = −2πν·A·sin(2πν·t). El valor màxim és quan el sinus val ±1: v_y,màx = 2πν·A = 2π·30·0,010 = 1,88 m/s.

Acceleració. Derivem la velocitat: a_y(t) = dv_y/dt = −4π²ν²·A·cos(2πν·t). El valor màxim és quan el cosinus val ±1: a_y,màx = 4π²ν²·A = 4π²·30²·0,010 = 3,55·10² m/s².

a)

Freqüència angular. Cada volta del motor és una oscil·lació del pistó: ω = 1,91·10³ volta/min · 2π rad/volta · 1 min/60 s = 200 rad/s.

Amplitud. El recorregut d'extrem a extrem és el doble de l'amplitud: 2A = 20,0 cm → A = 10,0 cm = 0,100 m.

Fase inicial. Escrivim x(t) = A·sin(ωt + φ). A t = 0 el pistó és a 10,0 cm de l'equilibri, és a dir, en un dels extrems: x(0) = ±A → sin φ = ±1 → φ = ±π/2 (el signe depèn de quin extrem sigui).

Equació del moviment. x(t) = 0,100·sin(200·t ± π/2) m, o bé, de manera equivalent, x(t) = ±0,100·cos(200·t) m.

Velocitat màxima. Derivant: v(t) = dx/dt = A·ω·cos(ωt ± π/2). El seu valor màxim és quan el cosinus val ±1: v_màxima = A·ω = 0,100·200 = 20,0 m/s.

b)

Constant de recuperació. En un MHS la força és F = −k·x amb k = m·ω² = 0,200·200² = 8,00·10³ N/m.

Força màxima. La força és màxima als extrems, on |x| = A: F_màxima = k·A = 8,00·10³·0,100 = 800 N.

a)

Amplitud, freqüència i ω. Entre el punt més alt i el més baix hi ha dues amplituds: 2A₀ = 1,0 m → A₀ = 0,50 m. La boia fa una oscil·lació cada vegada que arriba una ona, per tant T = 2,0 s i f = 1/T = 1/2,0 = 0,50 Hz. La freqüència angular és ω = 2πf = 2π·0,50 = π rad/s.

Equació general. Prenem l'eix y vertical, positiu cap amunt i amb l'origen al nivell mitjà de l'aigua: y(t) = A₀·sin(ωt + δ).

Fase inicial. L'enunciat no diu on és la boia a t = 0. Com fa la pauta, suposem que en aquest instant la boia és en un extrem, per exemple al punt més alt: y(0) = A₀ → sin δ = 1 → δ = π/2. (Si comencés al punt més baix, seria δ = −π/2.)

Equació amb valors. y(t) = 0,50·sin(π·t + π/2) m, que és el mateix que y(t) = 0,50·cos(π·t) m.

b)

Velocitat. Derivem la posició: v(t) = dy/dt = A₀·ω·cos(ωt + δ).

Velocitat màxima. El mòdul de la velocitat és màxim quan el cosinus val ±1: v_màx = A₀·ω = 0,50·π = 1,6 m/s.

Energia cinètica màxima. E_c,màx = ½·m·v_màx² = ½·1,5·(0,50·π)² = 1,85 J ≈ 1,9 J.

a)

Amplitud. La punta s'aparta com a màxim 100 nm de la posició central (els màxims i els mínims són a ±100 nm): A = 100 nm = 1,0·10⁻⁷ m.

Període. Hi ha un màxim a t = 0 i el següent és a la línia discontínua marcada amb π, és a dir, a t = π µs. Entre dos màxims consecutius passa un període: T = π µs = π·10⁻⁶ s ≈ 3,14·10⁻⁶ s.

Freqüència angular. ω = 2π/T = 2π/(π·10⁻⁶) = 2,0·10⁶ rad/s.

Forma de l'equació. Prenem l'eix y vertical, positiu cap amunt, i escrivim el moviment amb la funció cosinus: y(t) = A·cos(ωt + φ₀).

Fase inicial. A la gràfica, a t = 0 la punta és al punt més alt, y(0) = A. Substituint: A = A·cos φ₀ → cos φ₀ = 1 → φ₀ = 0.

Equació del moviment. y(t) = 1,0·10⁻⁷·cos(2,0·10⁶·t), amb y en m i t en s. Si es fa servir el sinus, y(t) = A·sin(ωt + φ₀), la condició y(0) = A dona sin φ₀ = 1, φ₀ = π/2 rad, i l'equació equivalent és y(t) = 1,0·10⁻⁷·sin(2,0·10⁶·t + π/2).

Expressió de l'acceleració. Derivem dues vegades la posició respecte del temps: v(t) = dy/dt = −A·ω·sin(ωt + φ₀) i a(t) = dv/dt = −A·ω²·cos(ωt + φ₀). El mòdul és màxim quan el cosinus val ±1, és a dir, als extrems de l'oscil·lació: a_màx = A·ω².

Acceleració màxima. a_màx = A·ω² = 1,0·10⁻⁷·(2,0·10⁶)² = 4,0·10⁵ m/s². També s'arriba al mateix resultat amb la segona llei de Newton: a l'extrem, F_màx = k·A = m·a_màx, d'on a_màx = (k/m)·A = ω²·A.

b)

Massa de la punta. Per a una massa lligada a una molla, ω = √(k/m). Aïllant la massa: m = k/ω² = 8,00/(2,0·10⁶)² = 2,0·10⁻¹² kg.

Efecte d'un període més llarg. Com que ω = 2π/T, si el període creix, la freqüència angular disminueix: ω′ = 2π/(1,22·T) = ω/1,22. Amb la mateixa k, la massa és m = k/ω²: si ω es fa més petita, m es fa més gran. Per tant, la punta ha guanyat massa (per exemple, perquè s'hi ha adherit material de la superfície).

a)

Model massa-molla. La freqüència angular d'un oscil·lador massa-molla és ω = √(k/m). La teranyina fa de molla: la seva constant k és la mateixa amb l'insecte i sense.

Les dues situacions. Aranya sola: ω_aranya = √(k/m_aranya). Aranya i insecte: ω_aranya+ins = √(k/(m_aranya + m_ins)). Dividint les dues expressions, k desapareix i, com que ω = 2πf: ω_aranya+ins/ω_aranya = f_aranya+ins/f_aranya = √(m_aranya/(m_aranya + m_ins)).

Quocient de masses. Elevant al quadrat i invertint: (m_aranya + m_ins)/m_aranya = (f_aranya/f_aranya+ins)² = (12/10)² = 1,44.

Massa de l'aranya. 1 + m_ins/m_aranya = 1,44 → m_ins/m_aranya = 0,44 → m_aranya = m_ins/0,44 = 1,00/0,44 = 2,27 g = 2,27·10⁻³ kg.

b)

Expressió de la constant. De ω = √(k/m) s'obté k = m·ω².

Constant elàstica. Amb l'aranya sola: k = m_aranya·(2πf_aranya)² = 2,27·10⁻³·(2π·12)² = 12,9 N/m. Amb l'aranya i l'insecte surt el mateix: k = (m_aranya + m_ins)·(2πf_aranya+ins)² = 3,27·10⁻³·(2π·10)² = 12,9 N/m.

Velocitat màxima. La velocitat és màxima quan el sistema passa per la posició d'equilibri (x = 0): allà l'energia potencial elàstica és nul·la i tota l'energia és cinètica.

Acceleració màxima. Com que a = −ω²·x, el mòdul de l'acceleració és màxim on l'elongació és màxima: als extrems, x = ±A.

a)

Model de molla. Per a una massa m lligada a una molla de constant k, la freqüència angular és ω = √(k/m).

Freqüència angular del braç. ω_braç = 2πf_braç = 2π·2,00·10¹⁵ = 4π·10¹⁵ rad/s ≈ 1,26·10¹⁶ rad/s.

Constant elàstica. Passem la massa a kg: m_braç = 2,10·10⁻¹⁶ g = 2,10·10⁻¹⁹ kg. Aïllant k:
k = m_braç·ω_braç² = 2,10·10⁻¹⁹·(4π·10¹⁵)² = 3,32·10¹³ N/m.

b)

Freqüència angular amb el virus. ω_braç+virus = 2π·2,87·10¹⁴ = 5,74π·10¹⁴ rad/s ≈ 1,80·10¹⁵ rad/s.

Massa oscil·lant. La constant del braç és la mateixa, però ara oscil·len el braç i el virus junts: k = (m_braç + m_virus)·ω_braç+virus².

Massa total. m_braç + m_virus = k/ω_braç+virus² = 3,32·10¹³/(5,74π·10¹⁴)² = 1,02·10⁻¹⁷ kg.

Massa del virus. m_virus = 1,02·10⁻¹⁷ − 2,10·10⁻¹⁹ = 9,99·10⁻¹⁸ kg.

a)

Constant elàstica. La vareta fa una força recuperadora proporcional al desplaçament i de sentit contrari: F = −k·Δx. En mòdul, per mantenir l'esfera desplaçada cal aplicar una força igual a k·Δx, de manera que
k = F/Δx = 8,00/(4,0·10⁻²) = 200 N/m.

Segona llei de Newton. Quan deixem l'esfera lliure, l'única força horitzontal és la de la vareta. Aplicant F = m·a:
−k·x = m·a.

Freqüència angular. En un MHS l'acceleració és a = −ω²·x. Substituint-la: −k·x = −m·ω²·x → k = m·ω² → ω = √(k/m).
Numèricament, ω = √(200/0,300) = 25,8 rad/s (i f = ω/2π = 4,11 Hz).

Període. Com que T = 2π/ω, queda T = 2π·√(m/k) = 2π·√(0,300/200) = 0,24 s (0,243 s).

b)

Equació del MHS. La posició de l'esfera és x(t) = A·cos(ωt + φ₀).

Velocitat. Derivant respecte del temps: v(t) = dx/dt = −A·ω·sin(ωt + φ₀).

Acceleració. Tornant a derivar: a(t) = dv/dt = −A·ω²·cos(ωt + φ₀) = −ω²·x(t). El valor màxim s'obté quan el cosinus val ±1: a_max = A·ω².

Valor numèric. Si l'esfera es deixa anar des de la posició desplaçada, l'amplitud és A = 4,0 cm = 0,040 m. Amb ω² = k/m:
a_max = A·k/m = 0,040·200/0,300 = 26,7 m/s².

a)

Acceleració del MHS. Escrivim la posició com x(t) = A·sin(ωt). Derivant-la dues vegades respecte del temps: a(t) = d²x/dt² = −A·ω²·sin(ωt).

Segona llei de Newton. L'única força que cal considerar és la recuperadora de la teranyina, F_recup = −k·x. Aplicant ΣF_recup = m·a: −k·x(t) = m·a(t).

Relació entre k i ω. Substituint les dues expressions: −k·A·sin(ωt) = −m·ω²·A·sin(ωt), d'on k = m·ω².

Valor numèric. Amb ω = 2πf: k = m·(2πf)² = 1,58·10⁻³·(2π·12)² = 9,0 N/m.

b)

Massa del segon insecte. La teranyina és la mateixa, per tant k no canvia. Amb ω = 2π/T: m = k/ω² = 9,0/(2π/0,12)² = 3,3·10⁻³ kg (3,3 g).

Quan és màxima l'acceleració. Com que a(t) = −A·ω²·sin(ωt), el seu valor absolut és màxim quan |sin(ωt)| = 1, és a dir, als extrems de l'oscil·lació: |a_màx| = ω²·A.

Valor numèric. |a_màx| = (2π/T)²·A = (2π/0,12)²·2,0·10⁻³ = 5,5 m/s².

a)

Amplitud. L'elongació màxima de la gràfica és 12 cm: A = 12 cm = 0,12 m.

Període. El cos passa per x = 0 a t = 0 i a t = 3,0 s, movent-se en sentits oposats: entre aquests dos instants hi ha mig període. Per tant T = 2·3,0 = 6,0 s.

Freqüència angular. ω = 2π/T = 2π/6,0 = π/3 rad/s ≈ 1,05 rad/s.

Fase inicial. Fem servir x(t) = A·sin(ωt + φ₀). A t = 0 la gràfica dona x = 0: 0 = 12·sin φ₀ → sin φ₀ = 0, de manera que φ₀ = 0 o φ₀ = π. Com que l'elongació comença augmentant (la velocitat inicial és positiva), φ₀ = 0. Si s'escriu amb cosinus, la fase equivalent és −π/2 (o 3π/2).

b)

Equació del moviment. x(t) = 0,12·sin(πt/3) m (o bé 12·sin(πt/3) cm), amb t en segons.

Constant de la molla. Per a un cos unit a una molla, K = m·ω² = 0,250·(π/3)² = 0,274 N/m.

Energia mecànica. E = ½KA² = ½·0,274·0,12² = 1,97·10⁻³ J. La pauta, que arrodoneix abans K a 0,27 N/m, dona 1,9·10⁻³ J.

a)

Lectura de la gràfica. A x = 0 la corba té el màxim: E_c(0) = 10 J. A x = 0,20 m la corba talla l'eix horitzontal: E_c(0,20) = 0 J.

Conservació de l'energia mecànica. En un oscil·lador harmònic sense fregament l'energia mecànica E_mec = E_c + E_pot és la mateixa a tots els punts. A x = 0 l'energia potencial elàstica E_pot = ½kx² és nul·la, de manera que E_mec = 10 J + 0 J = 10 J.

Energies potencials. Per tant E_pot(0) = 0 J i, a l'altre punt, E_pot(0,20) = E_mec − E_c(0,20) = 10 − 0 = 10 J.

Amplitud. L'energia cinètica s'anul·la a x = ±0,20 m: són els extrems del moviment, per tant A = 0,20 m. En aquests punts tota l'energia és potencial.

Constant elàstica. L'energia potencial màxima és la dels extrems: E_pot,màx = ½kA² = E_mec. Aïllem k: k = 2E_mec/A² = 2·10/0,20² = 500 N/m.

b)

Relació entre k, m i ω. En un oscil·lador harmònic la constant elàstica i la massa estan lligades per k = m·ω², amb ω = 2πf.

Freqüència angular. ω = 2πf = 2π·(100/2π) = 100 rad/s.

Massa. m = k/ω² = k/(4π²f²) = 500/100² = 0,050 kg.

a)

Com es mesura la massa. Sí que es pot. El període d'oscil·lació d'una massa en una molla depèn només de la massa i de la constant elàstica: T = 2π·√(m/k). Si aïllem la massa, m = k·(T/2π)². Com que k = 100 N/m és coneguda, només cal mesurar el període.

Millorar la precisió. En lloc de cronometrar una sola oscil·lació, és millor mesurar el temps total t de N oscil·lacions i calcular T = t/N. L'error del cronòmetre es reparteix entre totes les oscil·lacions i el període (i per tant la massa) surt amb més precisió.

A la Lluna. En la fórmula del període no hi apareix la intensitat del camp gravitatori: la gravetat només canvia la posició d'equilibri de la molla, no el ritme de l'oscil·lació. Per tant, a la Lluna obtindríem la mateixa massa. De fet, sense aire la mesura encara seria una mica més precisa, perquè no hi hauria fregament amb l'aire.

b)

Amplitud i freqüència angular. A = 6,00 cm = 0,0600 m; ω = 2πf = 2π·10,0 = 20π rad/s = 62,8 rad/s.

Equació general. Escrivim la posició com x(t) = A·sin(ωt + φ₀).

Velocitat i valor màxim. Derivant: v(t) = dx/dt = A·ω·cos(ωt + φ₀). El cosinus val com a màxim 1, per tant v_màx = A·ω = 0,0600·20π = 3,77 m/s.

Acceleració i valor màxim. Derivant un altre cop: a(t) = dv/dt = −A·ω²·sin(ωt + φ₀) = −ω²·x. El valor màxim és a_màx = A·ω² = 0,0600·(20π)² = 237 m/s².

Fase inicial. Com que a = −ω²·x, l'acceleració és màxima i positiva quan x és mínima, és a dir, a x = −A. Per tant, a t = 0: −A = A·sin φ₀ → sin φ₀ = −1 → φ₀ = −π/2 rad.

Equació del moviment. x(t) = 0,0600·sin(20πt − π/2) m, amb t en s. Amb cosinus s'escriuria x(t) = 0,0600·cos(20πt + π) m, que és la mateixa funció.

a)

Relació entre T² i m. T = 2π/ω i ω = √(k/m), de manera que T² = (2π)²·m/k: T² és proporcional a m i la gràfica és una recta que passa per l'origen, de pendent (2π)²/k.

Pendent i constant elàstica. Prenem un punt de la recta, per exemple m = 1,2 kg i T² = 0,40 s²: pendent = (0,40 − 0)/(1,2 − 0) = 1/3 s²/kg. Igualant, (2π)²/k = 1/3 → k = 3·(2π)² = 118 N/m.

Freqüència angular amb 5,00 kg. ω = √(k/m) = √(118/5,00) = 4,86 rad/s.

Freqüència. f = ω/2π = 4,86/2π = 0,773 Hz.

Per què 20 oscil·lacions. La mesura del temps té una incertesa fixa (la precisió del cronòmetre i el temps de reacció de qui el prem). Si es cronometren 20 oscil·lacions, el temps mesurat és 20 vegades més llarg i aquesta incertesa hi pesa molt menys: l'error relatiu és més petit, i en dividir per 20 la incertesa del període també queda dividida per 20.

b)

Amplitud i freqüència angular. El cos surt del repòs a 15,0 cm de l'equilibri, que és, per tant, un extrem del moviment: A = 0,15 m. La freqüència angular és la de l'apartat anterior, ω = 4,86 rad/s.

Forma general. x(t) = A·sin(ωt + φ₀).

Fase inicial. A t = 0, x(0) = A: A = A·sin φ₀ → sin φ₀ = 1 → φ₀ = π/2 rad.

Equació del moviment. x(t) = 0,15·sin(4,86·t + π/2), amb x en m i t en s. Partint de la forma amb cosinus, cos φ₀ = 1 → φ₀ = 0 i s'obté la mateixa equació: x(t) = 0,15·cos(4,86·t).

Velocitat màxima. Derivant, v(t) = dx/dt = A·ω·cos(ωt + π/2). El seu mòdul és màxim quan el cosinus val ±1, és a dir, quan ωt + π/2 = 0 o π; en aquests instants sin(ωt + π/2) = 0 i, per tant, el cos és a x = 0, la posició d'equilibri.

Acceleració màxima. Derivant un altre cop, a(t) = dv/dt = −A·ω²·sin(ωt + π/2) = −ω²·x. El mòdul de l'acceleració és proporcional a |x| i és màxim als extrems: x = ±A = ±0,15 m.

a)

Període d'una molla. Un cos de massa m penjat d'una molla de constant k oscil·la amb període T = 2π·√(m/k).

Relació entre m i T². Elevant al quadrat: T² = 4π²·m/k, és a dir, m = (k/4π²)·T². La massa és proporcional a T² (per això la gràfica és una recta que passa per l'origen), i la constant es pot aïllar com k = 4π²·m/T².

Lectura de la gràfica. Prenem un punt de la recta: per a T² = 0,5 s² la massa és m = 1,9 kg. Llavors k = 4π²·m/T² = 4π²·1,9/0,5 = 1,5·10² N/m (150 N/m).

Energia mecànica. L'energia total de l'oscil·lador només depèn de k i de l'amplitud: E_T = ½·k·A² = ½·150·0,10² = 0,75 J.

Energia cinètica màxima. Quan el cos passa per la posició d'equilibri l'energia potencial (mesurada des de l'equilibri) és nul·la i tota l'energia és cinètica. Per tant E_c,màx = E_T = 0,75 J.

b)

Freqüència angular. ω = √(k/m) = √(150/1,5) = 10 rad/s.

Acceleració màxima. L'acceleració del MHS és a = −ω²·x, i és màxima als extrems (x = ±A): a_màx = A·ω² = 0,20·10² = 20 m/s².

Energia de l'oscil·lació. E_T = ½·k·A² = ½·150·0,20² = 3,0 J.

Treball del fregament. Dins l'aigua el fregament dissipa l'energia mecànica fins que el cos queda en repòs a l'equilibri. El treball del fregament és igual a la variació d'energia mecànica: W_fregament = ΔE_T = 0 − 3,0 = −3,0 J. És a dir, el fregament ha fet un treball de 3,0 J en valor absolut (negatiu, perquè s'oposa al moviment).

a)

Constant de recuperació. L'energia potencial elàstica és E_p = ½kx². A l'instant inicial: 4,00 = ½·k·1,00², d'on k = 2E_p/x² = 2·4,00/1,00² = 8,00 N/m.

Massa. L'energia cinètica és E_k = ½mv²: 12,00 = ½·m·5,44², d'on m = 2E_k/v² = 2·12,00/5,44² = 0,811 kg.

Energia mecànica. E = E_k + E_p = 12,00 + 4,00 = 16,0 J, que es manté constant durant tot el moviment.

b)

Freqüència angular. En un oscil·lador de molla ω² = k/m, per tant ω = √(k/m) = √(8,00/0,811) = 3,14 rad/s.

Amplitud. A l'extrem del moviment tota l'energia és potencial: E = ½kA², d'on A = √(2E/k) = √(2·16,0/8,00) = 2,00 m.

Condicions inicials. Escrivim l'equació general amb cosinus, x(t) = A·cos(ωt + φ), i la velocitat v(t) = −Aω·sin(ωt + φ). A t = 0: x(0) = A·cos φ i v(0) = −Aω·sin φ. Amb els valors: 1,00 = 2,00·cos φ → cos φ = 0,500; −5,44 = −2,00·3,14·sin φ → sin φ = 0,866.

Fase inicial. tan φ = sin φ/cos φ = 0,866/0,500 i, com que el sinus i el cosinus són tots dos positius, φ és al primer quadrant: φ = arctan(0,866/0,500) = 1,05 rad (és a dir, π/3; la pauta l'escriu 1,04 rad).

Equació del moviment. x(t) = 2,00·cos(3,14·t + 1,05) m, amb t en segons. Si es prefereix el sinus, cal sumar π/2 a la fase: x(t) = 2,00·sin(3,14·t + 2,62) m.

a)

Condició d'equilibri. Quan la plataforma queda en repòs, la força elàstica cap amunt compensa el pes. Si la molla té una longitud total d, s'ha allargat d − l respecte de la seva longitud natural: k·(d − l) = m·g.

Allargament. d − l = m·g/k = 0,0200·9,81/4,00 = 4,91·10⁻² m = 4,91 cm.

Lectura del dial. El regle comença al punt d'on penja la molla, de manera que el dial marca la longitud total de la molla, d = l + m·g/k = 0,200 + 0,0491 = 0,249 m, és a dir, d = 24,9 cm.

b)

Massa que oscil·la i amplitud. Ara oscil·len la plataforma i l'objecte junts: m_T = m + M = 20,0 + 300 = 320 g = 0,320 kg. Com que el deixem anar 10,0 cm lluny de la nova posició d'equilibri, l'amplitud és A = 0,100 m.

Conservació de l'energia. Mesurant l'elongació des de la nova posició d'equilibri, l'energia d'oscil·lació és ½kA². A l'extrem tota és potencial i en passar per l'equilibri tota és cinètica: ½kA² = ½m_Tv².

Velocitat. v = A·√(k/m_T) = 0,100·√(4,00/0,320) = 0,354 m/s (35,4 cm/s).

a)

Període. Cada oscil·lació dura un període: T = t/n = 30/6 = 5,00 s.

Freqüència. f = 1/T = 1/5,00 = 0,20 Hz.

Freqüència angular. ω = 2π/T = 2π·f = 2π·0,20 = 1,26 rad/s.

Equació del moviment. Prenem y = 0 a la posició d'equilibri i l'eix y vertical, positiu cap amunt. L'amplitud és A = 4 m. Si a t = 0 la saltadora és al punt més alt, y(0) = +A, i amb la funció cosinus la fase inicial és 0: y(t) = 4·cos(1,26·t), amb y en m i t en s. Amb la funció sinus la fase inicial seria π/2 rad: y(t) = 4·sin(1,26·t + π/2).

b)

Constant elàstica. La saltadora i la corda formen un oscil·lador massa-molla: ω = √(k/m), d'on k = ω²·m = (2π/5,00)²·60 = 94,7 N/m.

Condició d'equilibri. Quan la saltadora penja en repòs, la força total és nul·la: el pes queda compensat per la força elàstica de la corda, m·g = k·Δl → Δl = m·g/k.

Allargament de la corda. Amb g = 9,81 m/s² (l'enunciat no en dona el valor; és el que fa servir la pauta): Δl = 60·9,81/94,7 = 6,21 m.

Longitud de la corda. l = l₀ + Δl = 30,0 + 6,21 = 36,2 m.

a)

Energia potencial elàstica. La corba de la gràfica és la paràbola E = ½·k·x², de manera que qualsevol punt seu permet trobar k.

Constant elàstica. Per llegir amb més precisió agafem un punt allunyat de l'origen: a x = 15 cm = 0,15 m la gràfica marca E = 2,0 J. Aïllant, k = 2E/x² = 2·2,0/0,15² = 178 N/m.

Període. Una oscil·lació completa dura un període: T = t/n = 6,52/10 = 0,652 s.

Freqüència angular. ω = 2π/T = 2π/0,652 = 9,64 rad/s.

Massa. En un oscil·lador massa-molla ω = √(k/m), d'on m = k/ω² = 178/9,64² = 1,91 kg.

b)

Energia mecànica. Als extrems del moviment (x = ±A = ±10 cm) el cos s'atura i tota l'energia és potencial. A la gràfica, l'energia potencial a ±10 cm és d'uns 0,9 J; amb la fórmula, E_m = ½·k·A² = ½·178·0,10² = 0,89 J.

L'energia mecànica és constant. Sense fregament l'energia mecànica es conserva: a la gràfica és un segment horitzontal a 0,89 J que va de x = −10 cm a x = +10 cm (el cos no surt d'aquest interval).

Energia cinètica. A cada posició l'energia cinètica és el que falta a la potencial per arribar a la mecànica: E_c = E_m − E = ½·k·(A² − x²). És una paràbola cap avall que val 0,89 J a x = 0 i zero a x = ±10 cm. Talla la paràbola de l'energia potencial on totes dues valen la meitat de l'energia mecànica, a x = ±A/√2 ≈ ±7,1 cm.

a)

Relació entre T² i m. Per a la massa penjada, la segona llei de Newton aplicada al MHS dona −k·y = m·(−ω²y), d'on k = m·ω² = m·4π²/T². Aïllant el quadrat del període: T² = (4π²/k)·m.

Interpretació de la gràfica. Per tant, la representació de T² davant de m ha de ser una recta que passa per l'origen amb pendent 4π²/k. La gràfica experimental és, efectivament, una recta per l'origen: el pendent és el mateix per a les set masses, i això vol dir que k és una propietat de la molla i no depèn de la massa que hi pengem.

Constant elàstica. Llegim a la gràfica que per a m = 100 g = 0,100 kg el quadrat del període és T² ≈ 0,44 s². Llavors k = 4π²m/T² = 4π²·0,100/0,44 = 8,97 N/m.

Període per a 32,0 g. T = 2π·√(m/k) = 2π·√(0,0320/8,97) = 0,375 s ≈ 0,38 s. Si ho llegim directament a la gràfica, per a 32 g trobem T² ≈ 0,14 s², és a dir, T ≈ 0,37 s, un valor coherent.

b)

Equació del moviment. Prenem l'eix y vertical, positiu cap amunt i amb l'origen a la posició d'equilibri. A t = 0 la massa és al punt més baix, y = −A, de manera que amb el cosinus la fase inicial és π: y(t) = A·cos(ωt + π). Derivant: v(t) = −Aω·sin(ωt + π) i a(t) = −Aω²·cos(ωt + π) = −ω²·y(t).

Freqüència angular. Per a la massa de 100 g la gràfica dona T² = 0,44 s², és a dir, T = √0,44 = 0,663 s. Llavors ω = 2π/T = 2π/0,663 = 9,47 rad/s.

Elongació i acceleració a t = 3,00 s. Amb A = 0,100 m i la calculadora en radians: y(3,00) = 0,100·cos(9,47·3,00 + π) = 9,90·10⁻² m (la massa és gairebé al punt més alt). L'acceleració és a = −ω²·y = −9,47²·9,90·10⁻² = −8,88 m/s², dirigida cap avall. Com que ω·t ≈ 28,4 rad, el resultat és molt sensible a l'arrodoniment de ω: la pauta dona 9,91·10⁻² m i −8,89 m/s².

a)

Taula completa. Elevem cada període al quadrat (per exemple, 0,90² = 0,81 s²):

Gràfica. Prenem 0,2 m per divisió a l'eix horitzontal (de 0 a 1,4 m) i 1 s² per divisió al vertical (de 0 a 6 s²), i hi situem els cinc punts. Els eixos han de portar el nom de la magnitud i les unitats.

Per què estan alineats. Elevant al quadrat l'expressió del període: T = 2π·√(L/g) → T² = (4π²/g)·L. Com que 4π²/g és una constant, T² és directament proporcional a L: la gràfica ha de ser una recta que passa per l'origen, amb pendent m = 4π²/g.

Pendent. Tracem la recta per l'origen que s'ajusta millor als punts; passa aproximadament per (1,2 m; 4,8 s²). Per tant, m = Δ(T²)/ΔL = 4,8/1,2 = 4,00 s²/m. (Un ajust per mínims quadrats per l'origen dona 3,98 s²/m, pràcticament el mateix.)

Intensitat del camp gravitatori. De m = 4π²/g: g = 4π²/m = 4π²/4,00 = 9,87 m/s².

b)

Altura inicial. Quan el fil forma un angle θ amb la vertical, la massa és per sobre del punt més baix una altura h = L − L·cos θ = L(1 − cos θ) = 1,00·(1 − cos 30°) = 0,134 m.

Energia potencial màxima. L'energia potencial és màxima a la posició inicial (la més alta). Amb g = 9,8 m/s²: E_p,màx = m·g·h = 1,50·9,8·0,134 = 1,97 J.

Energia mecànica. En aquesta posició el pèndol està aturat, E_c = 0, i per tant E_m = E_c + E_p = 1,97 J.

Energia cinètica màxima. Sense fregament, l'energia mecànica es manté constant. Al punt més baix E_p = 0, i tota l'energia és cinètica: E_c,màx = E_m = 1,97 J.

Velocitat màxima. E_c,màx = ½·m·v_màx² → v_màx = √(2E_c,màx/m) = √(2·1,97/1,50) = 1,62 m/s. (Si es fa servir g = 9,87 m/s² de l'apartat a, s'obté 1,98 J i 1,63 m/s, que també és correcte.)

a)

Freqüència i període. La freqüència és el nombre d'oscil·lacions per segon: f = 40/60 s = 0,667 Hz, i el període n'és l'invers: T = 1/f = 1/0,667 = 1,5 s.

Constant de la molla. De ω = √(k/m): k = m·ω² = m·(2πf)² = 0,1·(2π/1,5)² = 1,75 N/m.

Amplitud i freqüència angular. Escrivim y(t) = A·sin(ωt + φ₀), amb y mesurada des de l'equilibri i positiva cap amunt. La distància entre els dos extrems és 2A = 0,15 m, per tant A = 0,075 m, i ω = 2πf = 4,19 rad/s.

Fase inicial i equació. A t = 0 la massa és a la posició més baixa: −A = A·sin φ₀ → sin φ₀ = −1 → φ₀ = 3π/2 rad (o −π/2). L'equació és y(t) = 0,075·sin(4,19t + 3π/2) m, amb t en s. Amb cosinus seria y(t) = 0,075·cos(4,19t + π) = −0,075·cos(4,19t) m. Si s'agafa l'eix positiu cap avall, totes les expressions canvien de signe.

Força elàstica. Seguint la pauta, representem la força recuperadora de la molla respecte de la posició d'equilibri: F(t) = −k·y(t) = −1,75·0,075·sin(4,19t + 3π/2) → F(t) = −0,13·sin(4,19t + 3π/2) N = 0,13·cos(4,19t) N. Comença amb el valor màxim, +0,13 N (cap amunt, perquè la massa és a baix).

Gràfica. Com que cal dibuixar dos períodes (3 s) en vuit divisions, és còmode que cada divisió horitzontal sigui T/4 = 0,375 s. A l'eix vertical prenem 0,1 N per divisió. La corba és una cosinusoide d'amplitud 0,13 N: màxims a 0, 1,5 i 3 s, mínims (−0,13 N) a 0,75 i 2,25 s, i zeros a 0,375, 1,125, 1,875 i 2,625 s.

b)

Energia mecànica. E_m = ½·k·A² = ½·1,75·0,075² = 4,92·10⁻³ J.

Energia cinètica en funció de la posició. L'energia mecànica es conserva, i l'energia cinètica és la part que no és potencial: E_c = E_m − E_pe = ½·k·A² − ½·k·y² = ½·k·(A² − y²). Amb valors: E_c = 0,875·(0,075² − y²) = 4,92·10⁻³ − 0,875·y² J, amb y en m.

Velocitat a 3 cm de l'equilibri. A y = 0,03 m: E_c = 0,875·(0,075² − 0,03²) = 4,13·10⁻³ J. Aleshores v = √(2E_c/m) = √(2·4,13·10⁻³/0,1) = 0,288 m/s (cap amunt o cap avall).

a)

Amplitud i període. L'amplitud és el valor màxim de la posició: A = 2,4 m. Entre dos màxims consecutius (a t = 1 s i t = 5 s) passa un període: T = 4 s.

Freqüència angular. ω = 2π/T = 2π/4 = π/2 = 1,57 rad/s.

Constant elàstica. Per a una massa en una molla, ω = √(k/m), d'on k = m·ω² = 2·(π/2)² = π²/2 = 4,93 N/m.

Forma de l'equació. Escrivim el moviment amb la funció sinus: x(t) = A·sin(ωt + φ₀).

Fase inicial. A la gràfica, x(0) = 0, per tant 0 = A·sin φ₀, que té dues solucions: φ₀ = 0 o φ₀ = π rad. Per decidir, mirem un instant conegut: a t = 1 s la gràfica dona x = +2,4 m.
Amb φ₀ = 0: x(1) = 2,4·sin(π/2) = +2,4 m, que coincideix.
Amb φ₀ = π: x(1) = 2,4·sin(π/2 + π) = −2,4 m, que no coincideix.
Per tant, φ₀ = 0.

Equació del moviment. x(t) = 2,4·sin(πt/2) m, és a dir, x(t) = 2,4·sin(1,57·t) m, amb t en s. Si es fa servir el cosinus, l'equació equivalent és x(t) = 2,4·cos(πt/2 − π/2) m.

b)

Velocitat. Derivem la posició respecte del temps: v(t) = dx/dt = A·ω·cos(ωt + φ₀). Amb els valors, A·ω = 2,4·π/2 = 3,77 m/s i v(t) = 3,77·cos(πt/2) m/s, amb t en s.

Gràfica. És una cosinusoide d'amplitud 3,77 m/s i període 4 s: comença al màxim (+3,77 m/s a t = 0), s'anul·la a 1 s, val −3,77 m/s a 2 s, torna a zero a 3 s i al màxim a 4 s, i així successivament fins a 9 s. Prenem 2 m/s per divisió a l'eix vertical i 2 s per divisió a l'horitzontal.

On l'acceleració és nul·la. L'acceleració en cada instant és el pendent de la gràfica v(t). El pendent és zero als màxims i mínims de la velocitat, de manera que a = 0 a t = 0, 2, 4, 6 i 8 s (són els instants en què el cos passa per x = 0).

Signe de l'acceleració. Quan la velocitat creix, el pendent és positiu: a > 0 entre 2 s i 4 s i entre 6 s i 8 s. En la resta d'intervals la velocitat decreix: a < 0 entre 0 i 2 s, entre 4 s i 6 s i entre 8 s i 9 s. És coherent amb a = −ω²·x: l'acceleració és positiva quan el cos és a x < 0.

a)

Amplitud. Prenem x = 0 a la posició d'equilibri (molla amb la longitud natural) i x positiva cap a la dreta. El bloc es deixa anar en repòs quan la molla fa 45 cm, que és, per tant, un extrem: A = L − L₀ = 0,45 − 0,30 = 0,15 m.

Freqüència angular. ω = √(k/m) = √(300/2) = 12,2 rad/s.

Període. T = 2π/ω = 2π/12,2 = 0,513 s.

Forma general. L'elongació d'un MHS és x(t) = A·sin(ωt + φ₀).

Fase inicial. A t = 0 el bloc és a l'extrem positiu, x(0) = A: A = A·sin φ₀ → sin φ₀ = 1 → φ₀ = π/2 rad.

Equació del moviment. x(t) = 0,15·sin(12,2·t + π/2), amb x en m i t en s. Si es parteix de x(t) = A·cos(ωt + φ₀), la condició inicial dona cos φ₀ = 1 → φ₀ = 0, i l'equació és la mateixa: x(t) = 0,15·cos(12,2·t).

b)

Energia mecànica. Sense fregament l'energia mecànica es conserva i és igual a l'energia potencial a l'extrem: E_m = ½·k·A² = ½·300·0,15² = 3,38 J, constant.

Velocitat i energia cinètica. Derivem la posició: v(t) = dx/dt = A·ω·cos(ωt + π/2) = −A·ω·sin(ωt) = −0,15·12,2·sin(12,2·t) = −1,84·sin(12,2·t) m/s. L'energia cinètica és E_c = ½·m·v² = ½·2·1,84²·sin²(12,2·t) = 3,38·sin²(12,2·t) J.

Energia potencial. U_k = ½·k·x² = ½·300·0,15²·cos²(12,2·t) = 3,38·cos²(12,2·t) J. A cada instant E_c + U_k = 3,38 J.

Gràfica. Triem 0,1 s per cada 10 quadrets a l'eix horitzontal (temps, en s) i 1 J per cada 10 quadrets a l'eix vertical (energia, en J), i dibuixem de t = 0 a t = T = 0,513 s. L'energia potencial comença al màxim (el bloc és a l'extrem) i s'anul·la a T/4 ≈ 0,128 s i 3T/4 ≈ 0,385 s, just quan l'energia cinètica és màxima; totes dues es repeteixen cada T/2, i la seva suma és sempre l'energia mecànica.

a)

Freqüències. f_A = 1/T_A = 1/1,00 = 1,00 Hz → ω_A = 2πf_A = 2π rad/s. La segona ha de tenir f_B = 2f_A = 2,00 Hz → ω_B = 2πf_B = 4π rad/s.

Constant de les molles. De ω_A = √(k/m_A): k = ω_A²·m_A = (2π)²·0,100 = 0,4π² ≈ 3,95 N/m.

Massa de B. Les molles són idèntiques, així que la segona té la mateixa k. De ω_B = √(k/m_B): m_B = k/ω_B² = 0,4π²/(4π)² = 0,025 kg = 25 g.

Comprovació ràpida. També es pot fer dividint les dues expressions: m_B/m_A = ω_A²/ω_B² = (2π)²/(4π)² = 1/4, i m_B = 0,100/4 = 0,025 kg.

b)

Velocitats màximes. v_A,max = A·ω_A = 0,0500·2π = 0,31 m/s; v_B,max = A·ω_B = 0,0500·4π = 0,63 m/s.

Períodes. Com que f_B = 2f_A, el període de B és la meitat del d'A: T_A = 1,00 s i T_B = 0,50 s. En 2 s, A fa 2 oscil·lacions i B en fa 4.

Gràfica. Prenem x positiu cap amunt. Els dos objectes surten del repòs des del punt més baix, de manera que la velocitat comença valent zero i de seguida és positiva (pugen): v_A(t) = 0,31·sin(2πt) m/s i v_B(t) = 0,63·sin(4πt) m/s. Dibuixem cada sinusoide amb la seva velocitat màxima i el seu període.

Oposició de fase. La diferència de fase és π rad quan els objectes estan en oposició de fase: cadascun és a un extrem diferent i tots dos tenen v = 0. Passa a t = 0,5 s i t = 1,5 s: en aquests instants A és al punt més alt i B al més baix. (Amb les fases, 4πt − 2πt = 2πt val π i 3π en aquests dos instants.)

a)

L'ombra com a projecció. Prenem l'eix y vertical, amb l'origen a l'altura del centre del disc (que coincideix amb la posició d'equilibri de la massa de la molla) i positiu cap amunt. Si θ és l'angle que forma el radi amb la vertical, l'altura de la massa del disc respecte del centre és la projecció del radi sobre l'eix vertical, y = A·cos θ. L'angle creix uniformement amb el temps, θ = ωt + φ₀, de manera que y(t) = A·cos(ωt + φ₀): l'ombra fa un MHS.

Paràmetres. L'amplitud és el radi de la trajectòria, A = 0,19 m, i la freqüència angular és la del disc, ω = 6,41 rad/s. La fase es treu de la condició inicial: a t = 0 la massa és al punt més baix, y(0) = −A.

Equació de les ombres. −A = A·cos φ₀ → cos φ₀ = −1 → φ₀ = π rad. Per tant, y(t) = 0,19·cos(6,41t + π) m, o, el que és el mateix, y(t) = −0,19·cos(6,41t) m, amb t en s. (Si s'agafa l'eix positiu cap avall, y(0) = +A, φ₀ = 0 i y(t) = 0,19·cos(6,41t) m.)

Constant elàstica. Les dues ombres fan el mateix moviment, així que la massa de la molla oscil·la amb la mateixa ω. Com que ω = √(k/m): k = ω²·m = 6,41²·0,5 = 20,54 N/m.

Energia mecànica. E_m = ½·k·A² = 0,5·20,54·0,19² = 0,371 J.

b)

Velocitat. Derivem la posició: v(t) = dy/dt = −A·ω·sin(ωt + φ₀) = −0,19·6,41·sin(6,41t + π) → v(t) = −1,218·sin(6,41t + π) m/s, amb t en s.

Energia cinètica. E_c = ½·m·v² = ½·0,5·1,218²·sin²(6,41t + π) → E_c(t) = 0,371·sin²(6,41t + π) J.

Energies en funció de la posició. Com que no hi ha fregament, l'energia mecànica és constant: E_m = 0,371 J. Per a una molla vertical, si mesurem y des de la posició d'equilibri, l'energia potencial total (elàstica més gravitatòria) és E_p = ½·k·y² = 10,27·y² J. L'energia cinètica és la diferència: E_c = E_m − E_p = 0,371 − 10,27·y² J. Totes tres només tenen sentit entre y = −0,19 m i y = +0,19 m.

Gràfica. Prenem 0,05 m per divisió a l'eix horitzontal (de −0,20 m a 0,20 m) i 0,1 J per divisió al vertical (de 0 a 0,4 J). E_m és una recta horitzontal a 0,371 J; E_p és una paràbola que val 0 a y = 0 i 0,371 J als extrems; E_c és la paràbola invertida, màxima (0,371 J) a y = 0 i nul·la als extrems. Les dues paràboles es tallen on E_p = E_c = E_m/2, a y = ±A/√2 = ±0,134 m.