Una ona és una pertorbació que es propaga per l'espai i transporta energia, sense transportar matèria. Cada punt del medi oscil·la al voltant de la seva posició i passa el moviment al punt del costat.
v = λ·f = λ/T
k = 2π/λ · ω = 2π·f = 2π/T
La velocitat de propagació v diu com de pressa avança la pertorbació. En un temps T (el que triga un punt a fer una oscil·lació) l'ona avança exactament una longitud d'ona λ, i per això v = λ/T.
v: velocitat de propagació [m/s] · λ: longitud d'ona [m] · f: freqüència [Hz] · T: període [s] · k: nombre d'ona [rad/m] · ω: pulsació [rad/s]
La longitud d'ona λ és la distància entre dos punts que es mouen igual, per exemple dues crestes seguides. L'amplitud A és el màxim allunyament d'un punt respecte de l'equilibri.
Tipus d'ones
Segons el medi. Les mecàniques necessiten un medi material per propagar-se (el so, les ones d'una corda o de l'aigua). Les electromagnètiques també es propaguen pel buit (la llum, les ones de ràdio), a c = 3,00·108 m/s.
Segons la direcció d'oscil·lació. En les transversals els punts oscil·len perpendicularment a la propagació (una corda, la llum). En les longitudinals oscil·len en la mateixa direcció, i es formen compressions i dilatacions (el so, una molla).
Magnituds de les ones
Magnitud
Significat
Unitat
A
amplitud: màxim allunyament d'un punt de l'equilibri
[m]
λ
longitud d'ona: distància entre dos punts en fase
[m]
T, f
període i freqüència d'oscil·lació de cada punt; f = 1/T
[s], [Hz]
v
velocitat de propagació de l'ona
[m/s]
k
nombre d'ona; k = 2π/λ
[rad/m]
ω
pulsació; ω = 2π·f
[rad/s]
La font fixa f, el medi fixa v
La freqüència és la de la font que fa l'ona i no canvia quan l'ona passa a un altre medi. La velocitat depèn del medi. Per tant, si canvia el medi, canvia λ = v/f.
canvi de medi: f1 = f2 → λ1/λ2 = v1/v2
El so
El so és una ona mecànica longitudinal: l'aire es comprimeix i es dilata. Necessita un medi i, en general, va més de pressa en els líquids i els sòlids que en l'aire.
A l'aire, vso ≈ 340 m/s (a uns 15–20 °C).
L'orella humana sent entre uns 20 Hz i 20 000 Hz. Per sota, infrasons; per sobre, ultrasons.
La freqüència fa que un so sigui greu o agut (to); la intensitat, que sigui fluix o fort.
2
Equació de l'ona harmònica
Si la font fa un MHS, cada punt del medi fa el mateix MHS, però amb retard: el que triga l'ona a arribar-hi. Per això l'equació depèn de la posició x i del temps t.
y(x, t) = A·sin(ω·t − k·x + φ0)
ω = 2π/T = 2π·f · k = 2π/λ · v = ω/k
El signe entre ω·t i k·x dona el sentit de propagació: ω·t − k·x, cap a les x positives; ω·t + k·x, cap a les x negatives. Si l'enunciat fa servir cosinus o escriu k·x − ω·t, també és correcte: només canvia φ0.
y: elongació d'un punt del medi [m] · x: posició del punt [m] · t: temps [s] · φ0: fase inicial [rad]
D'on surt
La font (x = 0) fa y = A·sin(ω·t + φ0). Un punt a distància x fa el mateix moviment amb un retard x/v, el temps que triga l'ona a arribar-hi: y = A·sin(ω·(t − x/v) + φ0). Com que ω/v = 2π·f/(λ·f) = 2π/λ = k, queda ω·t − k·x.
La mateixa equació descriu dues coses: si fixes t, és la forma de tota la corda (es repeteix cada λ); si fixes x, és el MHS d'un punt (es repeteix cada T).
Llegir una equació d'ona
Compara-la terme a terme amb y = A·sin(ω·t − k·x + φ0):
y = 0,05·sin(10π·t − 2π·x) A = 0,05 m · ω = 10π rad/s · k = 2π rad/m
D'aquí: f = ω/2π = 5 Hz, T = 0,2 s, λ = 2π/k = 1 m i v = ω/k = λ·f = 5 m/s, cap a les x positives.
Velocitat i acceleració d'un punt del medi
Cada punt fa un MHS en la direcció y. Derivant respecte del temps:
No confonguis la velocitat de propagació v = λ·f (constant, la de l'ona) amb la velocitat vy d'un punt del medi (canvia amb el temps i és perpendicular a la propagació en una ona transversal).
Diferència de fase
Dos punts separats Δx en el mateix instant, o un mateix punt en dos instants separats Δt:
Δφ = k·Δx = 2π·Δx/λ · Δφ = ω·Δt = 2π·Δt/T
En fase (es mouen igual): Δx = n·λ, és a dir, Δφ = 2π·n.
En oposició de fase (es mouen al revés): Δx = (2n + 1)·λ/2, és a dir, Δφ = (2n + 1)·π.
Trobar φ0
Com en el MHS: posa x = 0 i t = 0 a l'equació i fes-la coincidir amb el que diu l'enunciat. Si diu que en t = 0 l'origen és a l'equilibri i puja (vy > 0), amb sinus queda φ0 = 0, que és el cas més habitual.
y(0, 0) = A·sin φ0
3
Energia i intensitat
Una ona transporta energia des de la font. La intensitat diu quanta energia passa cada segon per cada metre quadrat perpendicular a la propagació.
I = P/S = P/(4π·r²)
β = 10·log(I/I0) · I0 = 10−12 W/m²
I1·r1² = I2·r2² (ona esfèrica, sense absorció)
I: intensitat [W/m²] · P: potència de la font [W] · S: superfície [m²] · r: distància a la font [m] · β: nivell d'intensitat sonora [dB] · I0: intensitat llindar d'audició [W/m²]
Una font puntual emet igual en totes direccions: la potència es reparteix en esferes de superfície 4π·r². Si la distància es duplica, la intensitat es divideix per 4.
Energia d'una ona
Cada punt del medi fa un MHS, i l'energia d'un MHS és ½·m·ω²·A². Per tant l'energia que transporta una ona és proporcional al quadrat de l'amplitud i al quadrat de la freqüència:
E ∝ A²·f² · I ∝ A²·f²
Si l'amplitud es duplica, la intensitat es multiplica per 4.
Intensitat i atenuació
En una ona esfèrica la intensitat disminueix amb el quadrat de la distància, encara que el medi no absorbeixi energia. Com que I ∝ A², l'amplitud disminueix amb 1/r.
I2/I1 = (r1/r2)² · A2/A1 = r1/r2
Si a més el medi absorbeix energia (absorció), la intensitat baixa encara més: l'ona s'esmorteeix.
Nivell d'intensitat sonora (decibels)
L'orella respon a intensitats de 10−12 W/m² a 1 W/m². Per treballar amb números còmodes es fa servir una escala logarítmica:
β = 10·log(I/I0) ↔ I = I0·10β/10
Llindar d'audició: I0 → 0 dB. Llindar de dolor: uns 1 W/m² → 120 dB.
Principi de superposició. Quan dues ones coincideixen en un punt, l'elongació resultant és la suma de les elongacions. Després de creuar-se, cada ona continua igual que abans.
Δr = |r1 − r2|: diferència de camins des de les dues fonts fins al punt [m] · n = 0, 1, 2…
Dues ones de la mateixa amplitud: si arriben en fase es reforcen (amplitud 2A); si arriben en oposició de fase s'anul·len.
Reflexió i refracció
Reflexió: l'ona rebota en un obstacle i torna al mateix medi; l'angle de reflexió és igual al d'incidència. L'eco és un so reflectit.
Refracció: l'ona passa a un altre medi, canvia de velocitat i, si arriba inclinada, canvia de direcció. La freqüència no canvia; la longitud d'ona sí.
sin θ1/v1 = sin θ2/v2
Difracció
L'ona vora un obstacle o s'obre en passar per una escletxa. És apreciable quan la mida de l'obstacle o de l'obertura és comparable a la longitud d'ona.
Per això sentim una persona darrere d'una cantonada (el so té λ d'uns centímetres a uns metres) però no la veiem (la llum visible té λ d'uns 400–700 nm).
Interferències
Dues fonts coherents (mateixa freqüència i diferència de fase constant), com dos altaveus connectats al mateix aparell, fan un patró fix: punts on el so és fort i punts on gairebé no se sent.
El que decideix què passa en un punt P és la diferència de camins Δr = |r1 − r2|, que equival a una diferència de fase Δφ = 2π·Δr/λ.
Interferència constructiva i destructiva
Fonts en fase
Condició
Amplitud
Constructiva
Δr = n·λ
A1 + A2
Destructiva
Δr = (2n + 1)·λ/2
|A1 − A2|
Si les fonts vibren en oposició de fase, les dues condicions s'intercanvien.
Efecte Doppler
Quan la font i l'observador s'acosten, l'observador rep les crestes més seguides: percep una freqüència més alta (so més agut). Quan s'allunyen, la percep més baixa (més greu). La freqüència que emet la font no canvia.
Per saber-ne més: la fórmula
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vf)
v és la velocitat del so, vo la de l'observador i vf la de la font. Signes de dalt quan s'acosten; de baix quan s'allunyen.
5
Ones estacionàries
Quan una ona i la seva reflexió se superposen en un medi limitat (una corda, un tub), es forma una ona que no avança. Els extrems del medi decideixen quines longituds d'ona hi caben.
λn = 2L/n
fn = n·v/(2L) = n·f1, n = 1, 2, 3… tub obert–tancat: λn = 4L/n, n = 1, 3, 5…
Només hi caben les ones que fan coincidir un node o un ventre amb cada extrem. Cada una és un harmònic; el de freqüència més baixa (n = 1) és el fonamental.
L: longitud de la corda o del tub [m] · n: número d'harmònic · λn, fn: longitud d'ona [m] i freqüència [Hz] de l'harmònic n · v: velocitat de l'ona en el medi [m/s]
Els tres primers modes possibles de cada cas. La línia contínua i la discontínua són la corda (o l'aire del tub) en dos instants separats mig període.
Com es forma una ona estacionària
Una ona que va i la que torna reflectida, amb la mateixa amplitud i freqüència, sumen:
y = 2A·sin(k·x)·cos(ω·t)
Ja no hi ha ω·t − k·x: l'ona no avança. Tots els punts oscil·len amb la mateixa freqüència, però cadascun amb una amplitud diferent, 2A·sin(k·x), que depèn de la seva posició. No transporta energia d'un extrem a l'altre.
Nodes i ventres
Els nodes són els punts que no es mouen mai (amplitud zero). Els ventres són els que oscil·len amb l'amplitud màxima, 2A.
Un fus és el tros entre dos nodes seguits: fa λ/2. Comptar fusos en un dibuix és la manera més ràpida de trobar λ.
Cordes: dos extrems fixos
Els extrems lligats no es poden moure: hi ha un node a cada extrem. Hi cap un nombre enter de fusos:
L = n·λn/2 → λn = 2L/n · fn = n·v/(2L) = n·f1
Hi ha tots els harmònics (n = 1, 2, 3…). L'harmònic n té n fusos, n + 1 nodes (comptant els extrems) i n ventres.
Per saber-ne més: la velocitat en una corda
Depèn de la tensió F i de la massa per unitat de longitud μ: v = √(F/μ). Per això en tensar una corda de guitarra el so es torna més agut.
Tubs oberts pels dos extrems
A un extrem obert l'aire es pot moure lliurement: hi ha un ventre (de desplaçament). Amb ventres als dos extrems, entre ells també hi cap un nombre enter de mitges longituds d'ona:
λn = 2L/n · fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3…
Les fórmules són les mateixes que les de la corda, i també hi ha tots els harmònics. Aquí v és la velocitat del so a l'aire.
Tubs oberts per un extrem i tancats per l'altre
A l'extrem tancat l'aire no es pot moure: hi ha un node. A l'obert, un ventre. Entre node i ventre hi ha λ/4, i hi cap un nombre senar de quarts de longitud d'ona:
L = n·λn/4 → λn = 4L/n · fn = n·v/(4L), n = 1, 3, 5…
Només hi ha els harmònics senars. El fonamental, f1 = v/(4L), és la meitat del d'un tub obert de la mateixa longitud.
Resum segons els extrems
Medi
Extrems
λn
fn
Harmònics
Corda fixada pels dos extrems
node–node
2L/n
n·v/(2L)
tots
Tub obert–obert
ventre–ventre
2L/n
n·v/(2L)
tots
Tub obert–tancat
ventre–node
4L/n
n·v/(4L)
només senars
Longitud del medi, longitud d'ona, freqüència i harmònics
Mira els extrems: node o ventre a cada un. Això tria la fórmula.
Troba n: amb un dibuix, compta els fusos (corda o tub obert) o els quarts de λ (tub obert–tancat). Amb dades, n = fn/f1.
Calcula λn a partir de L, i després fn = v/λn. Si et demanen L, fes el camí al revés.
Dos harmònics seguits: en una corda o un tub obert, la seva diferència de freqüències és f1; en un tub obert–tancat, és 2·f1.
Exemple: una corda de 60 cm vibra amb 4 nodes comptant els extrems. Té 3 fusos, per tant n = 3 i λ3 = 2·0,60/3 = 0,40 m. Si v = 120 m/s, f3 = 120/0,40 = 300 Hz i el fonamental és f1 = 100 Hz.
Demos interactives
1 · Ona transversal i ona longitudinal
Totes dues ones tenen la mateixa amplitud, la mateixa longitud d'ona i la mateixa freqüència, i viatgen cap a la dreta. A dalt, cada partícula oscil·la perpendicularment a la propagació; a sota, en la mateixa direcció, i es formen compressions (C) i dilatacions (D). L'ona avança, però cada partícula es queda oscil·lant al voltant del seu lloc.
En totes dues, λ és la distància entre dos punts que es mouen igual: dues crestes, o dues compressions.
En l'instant actual
Prova: posa la velocitat a ⅕× i segueix la partícula marcada: a dalt només puja i baixa, a sota només va endavant i endarrere, i cap de les dues no avança amb l'ona. Mesura λ entre dues crestes (a dalt) i entre dues compressions (a sota): és la mateixa. Duplica la freqüència: l'ona va el doble de ràpid perquè aquí λ i f són independents.
2 · Ona harmònica: la corda i un punt
A dalt, la corda en cada instant (y en funció de x). A sota, el moviment dels punts P i Q (y en funció de t). L'ona avança, però cada punt només puja i baixa.
λ
T
v = λ·f
yP
vy,P
Δφ (P, Q)
Equació amb els teus valors
En l'instant actual
Prova: duplica la freqüència: λ no canvia però v es duplica (aquí λ i f són independents; en un medi real, v és fixa i en canviar f canvia λ). Posa PQ = λ: P i Q es mouen igual. Posa PQ = λ/2: van al revés. Canvia el sentit i mira que P i Q intercanvien quin va avançat.
3 · Interferència de dues fonts
Dos altaveus S1 i S2 fan el mateix so (v = 340 m/s). Arrossega el punt P: la diferència de camins Δr = |r1 − r2| decideix si el so hi és fort o fluix. L'animació va alentida.
Clica o arrossega damunt del camp per moure P.
r1
r2
Δr
Δr/λ
f = v/λ
AP
En el punt P
Prova: posa P a la mateixa distància de les dues fonts: Δr = 0 i el so és fort. Mou-lo fins que Δr = λ/2: silenci. Canvia les fonts a «en oposició» i mira com el patró s'inverteix. Fes la λ més petita: hi ha més línies de silenci.
4 · Ones estacionàries: cordes i tubs
Tria el medi i l'harmònic. N són nodes i V ventres. En els tubs, la corba representa com es mou l'aire al llarg del tub (desplaçament), no la forma del tub.
n
nodes
ventres
λn
fn
f1
Amb els teus valors
Prova: passa de l'harmònic 1 al 2 en la corda: la freqüència es duplica i apareix un node al mig. Canvia a «tub tancat»: només hi ha harmònics senars i, amb la mateixa L, el fonamental és la meitat. Activa les dues ones: la seva suma és l'ona estacionària.
Com atacar un problema d'ones
Dades en SIcm → m, ms → s. Apunta què et donen (A, λ, f, T, v, distàncies) i què et demanen.
Relaciona v, λ i fv = λ·f. La f la posa la font i no canvia de medi; la v la fixa el medi.
Troba k i ωk = 2π/λ, ω = 2π·f. Escriu y(x, t) = A·sin(ω·t − k·x + φ0) amb el signe segons el sentit.
Tria l'einaFase entre punts: Δφ = k·Δx. Interferència: Δr i λ. Estacionàries: mira els extrems i compta fusos. So: intensitats.
Respon i comprovaUnitats, sentit de propagació, |vy| ≤ A·ω. Els dB només al final.
Llegir una equació d'ona
Posa-la en la forma y = A·sin(ω·t ∓ k·x + φ0) i llegeix cada coeficient:
y = 0,02·sin(100π·t − 5π·x)
A = 0,02 m: el que multiplica el sinus.
ω = 100π rad/s → f = ω/2π = 50 Hz, T = 0,02 s.
k = 5π rad/m → λ = 2π/k = 0,40 m.
v = ω/k = 20 m/s, i com que hi ha −, cap a les x positives.
Si l'equació ve com A·sin[2π(t/T − x/λ)], llegeix directament T i λ. Si ve com A·sin[ω(t − x/v)], llegeix v.
Errades típiques
Calculadora en graus quan l'argument del sinus és en radians.
Confondre la velocitat de propagació v = λ·f amb la velocitat d'un punt vy.
Pensar que en canviar de medi canvia la freqüència: canvia λ.
Sumar decibels: se sumen les intensitats.
En un tub obert–tancat, fer servir 2L o harmònics parells.
Comptar nodes en lloc de fusos: n fusos són n + 1 nodes en una corda.
Valors que convé saber
Velocitat del so a l'aire
≈ 340 m/s
Velocitat de la llum
3,00·108 m/s
Freqüències audibles
20 Hz – 20 000 Hz
Llindar d'audició
I0 = 10−12 W/m² (0 dB)
Exemple resolt
Per una corda es propaga, cap a les x positives, una ona transversal harmònica d'amplitud 2,0 cm i freqüència 50 Hz, a 20 m/s. En t = 0, el punt x = 0 és a l'equilibri i puja. Escriu l'equació de l'ona i calcula la velocitat màxima d'un punt de la corda i la diferència de fase entre dos punts separats 10 cm.
1. Dades: A = 0,020 m, f = 50 Hz, v = 20 m/s, sentit +x.
2. λ = v/f = 20/50 = 0,40 m; T = 1/f = 0,020 s.
3. ω = 2π·f = 100π = 314 rad/s; k = 2π/λ = 5π = 15,7 rad/m. A l'origen y(0, 0) = 0 i puja, per tant amb sinus φ0 = 0: y(x, t) = 0,020·sin(100π·t − 5π·x) m.
4. vy,màx = A·ω = 0,020·100π = 6,28 m/s (molt diferent de v = 20 m/s, que és la de l'ona). Δφ = k·Δx = 5π·0,10 = π/2 rad: els punts estan en quadratura.
5. Comprovació: v = ω/k = 100π/5π = 20 m/s ✓.
Formulari
Magnituds
v = λ·f = λ/T k = 2π/λ ω = 2π·f v = ω/k
A [m] · λ [m] · f [Hz] · T [s] · v [m/s] · k [rad/m] · ω [rad/s]
Equació de l'ona
y = A·sin(ω·t − k·x + φ0) (+x) y = A·sin(ω·t + k·x + φ0) (−x)
Una ona transversal de 3,0 cm d'amplitud i 60 cm de longitud d'ona es propaga per una corda a 12 m/s en el sentit negatiu de l'eix x. En t = 0, el punt x = 0 és a l'equilibri i puja.
Calcula la freqüència i el període.
Escriu l'equació de l'ona.
Solució
f = v/λ = 12/0,60 = 20 Hz; T = 1/f = 0,050 s.
ω = 2π·f = 40π = 125,7 rad/s; k = 2π/λ = 2π/0,60 = 10π/3 = 10,5 rad/m. Cap a −x, el signe és +; amb y(0, 0) = 0 pujant, φ0 = 0: y(x, t) = 0,030·sin(40π·t + (10π/3)·x) m.
Un violí que toca sol produeix un nivell d'intensitat sonora de 60 dB en un punt de la sala.
Quin nivell hi haurà si toquen dos violins iguals?
Quants violins calen per arribar a 70 dB?
Quin nivell produeix un sol violí al doble de distància (ona esfèrica, sense absorció)?
Solució
La intensitat es duplica: β = 60 + 10·log 2 = 63,0 dB (no 120 dB).
+10 dB vol dir intensitat ×10: calen 10 violins.
Al doble de distància I es divideix per 4: β = 60 − 10·log 4 = 54,0 dB.
PAUProblemes de les PAU
45 problemes de les PAU de Catalunya, ordenats de més fàcil a més difícil. Cada apartat porta la puntuació oficial i, a la solució, com la reparteix la pauta de correcció. Els enunciats són els oficials de les PAU de Catalunya (Generalitat de Catalunya), reproduïts d'acord amb les condicions de reutilització de la informació del sector públic; cada problema enllaça a l'examen original.
La corda d’un violí fa 32 cm de llarg i vibra amb una freqüència fonamental de 196 Hz.
a)Quina és la longitud d’ona del primer harmònic (fonamental)? Justifiqueu la resposta. Representeu el segon harmònic i indiqueu-hi la posició dels nodes i els ventres. [1,25 punts]
b)Quina és la freqüència i la longitud d’ona del so que és produït pel primer harmònic del violí i que es propaga per l’aire? [1,25 punts]
Dada: La velocitat del so en l’aire és de 340 m s–1.
Longitud d'ona del fonamental. Els extrems de la corda estan fixos i són nodes. En el mode fonamental hi ha només aquests dos nodes i un ventre al centre, de manera que la longitud de la corda és mitja longitud d'ona: L = λ/2 → λ = 2L = 2·32 cm = 64 cm = 0,64 m.
Primer harmònic (fonamental): 2 nodes i 1 ventre; dins la corda hi cap mitja longitud d'ona. Les línies contínua i discontínua són les dues posicions extremes de la corda; N = node, V = ventre.
Segon harmònic. El segon harmònic té tres nodes (els dos extrems i el centre, a 16 cm) i dos ventres (a L/4 = 8 cm i 3L/4 = 24 cm d'un extrem).
Segon harmònic: 3 nodes (extrems i centre) i 2 ventres (a L/4 i 3L/4). Les línies contínua i discontínua són les dues posicions extremes de la corda; N = node, V = ventre.
Com puntua la pauta
0,6Justificar que dins la corda hi ha mitja longitud d'ona (dos nodes als extrems i un ventre) i obtenir λ = 2L = 0,64 m.
0,65Representar el segon harmònic amb tres nodes i dos ventres.
b)
Freqüència del so a l'aire. La corda fa vibrar l'aire amb la seva mateixa freqüència, i la freqüència d'una ona no canvia quan passa d'un medi a un altre: f = 196 Hz.
Longitud d'ona a l'aire. El que canvia és la velocitat i, per tant, la longitud d'ona: λ = v/f = 340/196 = 1,73 m.
Com puntua la pauta
0,65Indicar que la freqüència no canvia en canviar de medi: f = 196 Hz.
0,6Calcular la longitud d'ona a l'aire, λ = v/f = 1,73 m.
Un violinista interpreta un solo durant un concert. De cop i volta, quatre violins més l’acompanyen, tocant amb la mateixa intensitat que el primer.
a)Quants decibels ha augmentat el nivell d’intensitat del so? [1,25 punts]
b)Ara els cinc violins passen de mezzo piano a forte i mesurem un nivell d’intensitat del so de 76,98 dB. Suposant que tots els violins toquen amb la mateixa intensitat, quina és la intensitat I amb la qual toca un sol violí? [1,25 punts]
Les boies marines s’utilitzen sovint per a mesurar l’alçària de l’onatge. Una d’aquestes boies es mou seguint una oscil·lació harmònica de 3,00 m d’amplitud i 0,10 Hz de freqüència i l’ona es propaga a una velocitat de 0,50 m s–1.
a)Calculeu la longitud d’ona i el nombre d’ona. [1 punt, segons la pauta]
b)Escriviu l’equació de les ones que fan moure la boia suposant que la fase inicial és zero. [1 punt, segons la pauta]
Forma general. Amb fase inicial zero, l'elongació vertical de cada punt de la superfície és y(x, t) = A·sin(kx − ωt), en què x és la posició en la direcció de propagació.
El terme musical soprano es refereix a la veu més aguda, característica del sexe femení. El rang vocal típic d’aquesta veu és de més de dues octaves, del do3 (261,7 Hz) al re5 (1 174,7 Hz).
a)Calculeu les longituds d’ona dels sons més greu i més agut que pot emetre una cantant soprano. [1 punt, segons la pauta]
b)En una actuació, un espectador situat a 10,0 m d’una soprano percep un nivell d’intensitat sonora de 80 dB. Calculeu la potència d’aquest so. [1 punt, segons la pauta]
Dades: Intensitat del llindar d’audició (0 dB), I0 = 1,0 × 10–12 W m–2 Velocitat del so en l’aire = 340 m s–1
Longitud d'ona i freqüència. En l'aire totes les freqüències es propaguen a la mateixa velocitat, de manera que λ = v/f: com més aguda és la nota, més curta és la longitud d'ona.
So més agut i so més greu. λagut = 340/1 174,7 = 0,290 m λgreu = 340/261,7 = 1,30 m
Com puntua la pauta
0,2Escriure la relació λ = v/f.
0,8Calcular les dues longituds d'ona: 0,290 m (re₅) i 1,30 m (do₃).
b)
Del nivell a la intensitat.LI = 10·log(I/I0) → I = I0·10LI/10.
Intensitat a 10,0 m.I = 10−12·108 = 1,0·10−4 W/m2.
Potència i intensitat. La potència es reparteix sobre una esfera centrada en la soprano, de radi igual a la distància a l'espectador: P = I·A = I·4πR2.
Potència del so.P = 10−4·4π·10,02 = 0,126 W.
Com puntua la pauta
0,1Escriure la definició del nivell d'intensitat i aïllar-ne I.
0,4Calcular la intensitat, I = 10⁻⁴ W/m².
0,2Relacionar potència i intensitat a través de l'àrea d'una esfera, P = I·A.
La membrana d’un altaveu vibra amb una freqüència de 300 Hz i una amplitud de 1,00 mm i produeix un to pur. En les condicions de l’experiment, la velocitat del so és 340 m s–1.
a)Calculeu la longitud d’ona, la pulsació i el període del so produït. [1 punt, segons la pauta]
b)Indiqueu com seran, qualitativament, la freqüència i la longitud d’ona enregistrades per un observador en cada un dels casos següents, comparades (més gran / més petit / igual) amb la freqüència i la longitud d’ona originals: — L’altaveu s’acosta ràpidament a l’observador. — El so arriba a l’observador després d’haver-se reflectit en una paret. [1 punt, segons la pauta]
Longitud d'ona. El so té la freqüència de la membrana, ν = 300 Hz. De v = λ·ν: λ = v/ν = 340/300 = 1,13 m.
Pulsació. ω = 2πν = 2π·300 = 1,88·103 rad/s.
Període.T = 1/ν = 1/300 = 3,33·10−3 s.
Com puntua la pauta
0,4Calcular λ = v/ν = 1,13 m.
0,3Calcular ω = 2πν = 1,88·10³ rad/s.
0,3Calcular T = 1/ν = 3,33·10⁻³ s.
b)
L'altaveu s'acosta. És l'efecte Doppler: la font avança cap a l'observador mentre emet, i els fronts d'ona que li arriben queden més junts. L'observador enregistra una freqüència més gran i una longitud d'ona més petita que les originals.
Reflexió en una paret. En la reflexió el so només canvia la direcció de propagació: continua en el mateix medi, amb la mateixa velocitat, i la freqüència la fixa la font. La freqüència i la longitud d'ona són iguals que les originals.
Com puntua la pauta
0,5Font que s'acosta: freqüència més gran i longitud d'ona més petita, justificat amb l'efecte Doppler o amb els fronts d'ona.
0,5Reflexió: no canvien ni la freqüència ni la longitud d'ona, perquè no hi ha canvi de medi i només canvia la direcció de propagació.
Freddie Mercury ha passat a la història com una de les millors veus del rock. La seva màgica veu ha estat objecte de discussió i estudi, també per a la ciència. El biofísic austríac Christian Herbst va estudiar la veu del cantant de Queen i va determinar que Mercury era un baríton amb un registre vocal que anava del fa 2 (al voltant de 92,2 Hz) al sol 5 (al voltant de 784 Hz).
Font: https://queenphotos.wordpress.com.
a)Calculeu les longituds d’ona dels sons més greus i més aguts que Mercury podia emetre. [1,25 punts]
b)L’any 1985, Queen va actuar al festival Rock in Rio, en un concert que va aplegar unes 350 000 persones. En un moment de molta emoció, els assistents van començar a cantar a cappella la famosa cançó Love of my life. Si cada assistent al concert cantava amb una potència de 10–7 W, quin nivell d’intensitat sonora (en decibels) es podia percebre a 1 km del concert? (A aquesta distància, podeu considerar que el concert és una font puntual de so.) [1,25 punts]
Dades: I0 = 10–12 W m–2. La velocitat del so en l’aire és de 340 m s–1.
So més agut. La longitud d'ona és inversament proporcional a la freqüència, λ = v/f; el so més agut (784 Hz) té la longitud d'ona més curta: λmín = 340/784 = 0,43 m.
So més greu. El so més greu (92,2 Hz) té la longitud d'ona més llarga: λmàx = v/f = 340/92,2 = 3,69 m.
Com puntua la pauta
0,65Calcular la longitud d'ona del so més agut, λ = v/f = 0,43 m.
0,6Calcular la longitud d'ona del so més greu, 3,69 m.
b)
Superfície on es reparteix el so. Si el concert es comporta com una font puntual, a una distància r = 1 000 m la potència es distribueix sobre una esfera: A = 4πr2 = 4π·1 0002 = 1,26·107 m2.
Intensitat a 1 km. Les potències de tots els assistents se sumen, i la intensitat és la potència per unitat de superfície: I = N·Ppersona/A = 350 000·10−7/1,26·107 = 2,78·10−9 W/m2.
La longitud de la corda d’un violoncel és de 70 cm i la velocitat de propagació de les ones en aquesta corda és de 308 m s–1. Per al tercer harmònic:
a)Representeu esquemàticament l’ona estacionària d’aquest harmònic i indiqueu-hi tots els nodes i tots els ventres. Calculeu la longitud d’ona. Quina és la distància entre dos nodes consecutius? [1 punt]
b)Suposant que la corda està en posició horitzontal, calculeu, per a un ventre, el temps que triga la posició vertical a passar del seu valor màxim al valor mínim (del punt més alt al punt més baix). [1 punt]
Esquema de l'harmònic. Els dos extrems de la corda estan subjectes, de manera que sempre hi ha un node a cada extrem. En el tercer harmònic la corda vibra en tres fusos: hi ha 3 ventres i 4 nodes (els dos extrems i dos d'interns, a L/3 i 2L/3).
Tercer harmònic de la corda: 4 nodes i 3 ventres. Les línies contínua i discontínua són les dues posicions extremes de la corda; N = node, V = ventre.
Longitud d'ona. Al dibuix hi cap una ona i mitja: L = 1,5·λ. De manera general, per a l'harmònic n d'una corda fixa pels dos extrems, λ = 2L/n. Amb n = 3: λ = 2·0,70/3 = 0,467 m.
Distància entre nodes consecutius. Entre dos nodes seguits hi ha mitja longitud d'ona (també es veu al dibuix que és un terç de la corda): distància = λ/2 = L/3 = 0,70/3 = 0,233 m.
Com puntua la pauta
0,4Dibuixar el tercer harmònic amb els 3 ventres i els 4 nodes (si falten els nodes dels extrems es resten 0,1 p).
0,3Obtenir la longitud d'ona, λ = 2L/3 = 0,467 m (o bé de L = 1,5λ).
0,3Calcular la distància entre nodes consecutius, λ/2 = L/3 = 0,233 m.
b)
Freqüència.f = v/λ = 308/0,467 = 660 Hz.
Període.T = 1/f = 1/660 = 1,51·10−3 s.
Temps entre el punt més alt i el més baix. Un ventre oscil·la verticalment amb el període de l'ona. Passar de l'elongació màxima a la mínima és només mitja oscil·lació: Δt = T/2 = 1,51·10−3/2 = 7,58·10−4 s.
Com puntua la pauta
0,4Calcular la freqüència, f = v/λ = 660 Hz.
0,3Calcular el període, T = 1/f = 1,51·10⁻³ s.
0,3Raonar que de dalt a baix el ventre triga mig període: Δt = T/2 = 7,58·10⁻⁴ s.
Un remer assegut a la seva barca, de comportament estacionari respecte a l’aigua, observa que les crestes de les ones passen per la proa cada 4,00 s, que l’amplitud de les crestes és de 0,30 m i que la distància entre dues crestes és de 9,00 m.
a)Calculeu la velocitat de propagació de les ones. Determineu l’equació de l’ona suposant que la fase inicial és zero. [1 punt, segons la pauta]
b)En un instant donat, calculeu la diferència de fase entre dos punts que disten 4,00 m l’un de l’altre. [1 punt, segons la pauta]
Velocitat de propagació. El temps entre dues crestes és el període, T = 4,00 s, i la distància entre crestes és la longitud d'ona, λ = 9,00 m: v = λ/T = 9,00/4,00 = 2,25 m/s.
Magnituds de l'equació. Escrivim l'ona com y(x, t) = A·sin(ωt − kx + φ0), amb φ0 = 0. La pulsació és ω = 2π/T = 2π/4,00 = π/2 rad/s i el nombre d'ona, k = 2π/λ = 2π/9 m−1.
Equació amb valors.y(x, t) = 0,30·sin(πt/2 − 2πx/9), amb x i y en m i t en s.
Com puntua la pauta
0,2Calcular la velocitat de propagació, v = λ/T = 2,25 m/s.
0,4Plantejar l'equació general amb φ₀ = 0 i calcular ω = π/2 rad/s i k = 2π/9 m⁻¹.
0,4Escriure l'equació amb els valors, y = 0,30·sin(πt/2 − 2πx/9).
b)
Resta de les fases. En un mateix instant t, la fase de dos punts x1 i x2 és Δφ = (πt/2 − 2πx2/9) − (πt/2 − 2πx1/9): el terme del temps desapareix.
Valor. Δφ = (2π/9)·(x1 − x2), en valor absolut (2π/9)·4,00 = 8π/9 rad ≈ 2,79 rad.
Com puntua la pauta
0,5Escriure la diferència de fase com la resta de les fases dels dos punts en el mateix instant.
En un estadi el públic fa l’onada per celebrar la bona actuació de l’equip local. L’onada és tan gran que dos espectadors de la mateixa fila separats com a mínim per 50 m es mouen igual i ho fan cada 10 s.
a)Si modelitzéssim aquesta onada a l’estadi com una ona, de quin tipus d’ona estaríem parlant? Calculeu-ne la longitud d’ona i la pulsació (freqüència angular). [1 punt, segons la pauta]
b)Un espectador es mou 1,0 m verticalment quan s’aixeca i s’asseu per fer passar l’onada. Escriviu l’equació del moviment d’aquest espectador considerant que descriu un moviment harmònic simple i que en l’instant inicial es troba assegut, és a dir, en la seva posició mínima. [1 punt, segons la pauta]
Teoria: Què és una ona · També: Moviment harmònic simple
Solució
a)
Tipus d'ona. Seria una ona mecànica, perquè necessita un medi material (el públic) per propagar-se, i transversal, perquè cada espectador es mou amunt i avall mentre l'onada avança al llarg de la fila. Si considerem la graderia com un pla, també es pot dir que és bidimensional.
Longitud d'ona. La longitud d'ona és la distància mínima entre dos punts que es mouen exactament igual: λ = 50 m.
Pulsació. Cada espectador repeteix el moviment cada 10 s, que és el període: ω = 2π/T = 2π/10 = 0,2π rad/s ≈ 0,63 rad/s.
Un tub d’un orgue de la basílica de la Sagrada Família està obert pels dos extrems i fa 1,0 m de longitud.
a)Calculeu les freqüències i les longituds d’ona de les ones estacionàries que es poden propagar per aquest tub. [1 punt, segons la pauta]
b)Si el tub estigués ple d’heli, el so s’hi propagaria a una velocitat de 975,0 m s–1. En aquest cas, quines serien les freqüències? [1 punt, segons la pauta]
Condició del tub obert. Als dos extrems oberts hi ha d'haver ventres. L'ona estacionària més senzilla (el fonamental) té un sol node, al mig del tub, i aleshores la longitud del tub és mitja longitud d'ona: l = λ/2.
Primer harmònic en un tub obert pels dos extrems: un ventre a cada extrem i un node al mig, de manera que la longitud del tub és mitja longitud d'ona.
Longitud d'ona fonamental. λ0 = 2l = 2·1,0 = 2,0 m.
Freqüència fonamental. De v0 = λ0·f0: f0 = v0/λ0 = 343,0/2,0 = 171,5 Hz.
Totes les freqüències. En un tub obert pels dos extrems són possibles tots els harmònics, múltiples enters del fonamental: fn = n·f0 = n·171,5 Hz, amb n = 1, 2, 3…
Totes les longituds d'ona. Les longituds d'ona corresponents són λn = 2l/n = 2,0/n m, amb n = 1, 2, 3…
Com puntua la pauta
0,2Relacionar la longitud del tub amb la longitud d'ona del fonamental, l = λ/2.
0,2Obtenir λ₀ = 2l = 2,0 m.
0,2Calcular la freqüència fonamental, f₀ = v₀/λ₀ = 171,5 Hz.
0,2Donar les freqüències permeses, fₙ = n·171,5 Hz.
0,2Donar les longituds d'ona permeses, λₙ = 2,0/n m.
b)
Què canvia amb l'heli. Les longituds d'ona les fixa la geometria del tub, que no canvia; només canvia la velocitat del so. Per tant, f′n = n·f′0 = n·vHe/λ0.
Freqüències amb heli.f′n = n·975,0/2,0 = n·487,5 Hz, amb n = 1, 2, 3…
Com puntua la pauta
0,5Escriure les freqüències permeses amb la nova velocitat, f′ₙ = n·v He/λ₀.
El timbre que sona en una escola a l’hora del pati perquè els alumnes tornin a classe és molt fort. Per tal de saber fins on el sentiran, en cas de no haver-hi edificis ni cap mena de pèrdua d’energia, mesurem amb el telèfon intel·ligent (smartphone) el nivell d’intensitat sonora a 7,0 m de distància del timbre i obtenim un valor de 50 dB. Calculeu:
a)La intensitat del so en el lloc on fem la mesura. [1 punt, segons la pauta]
b)La potència del timbre. A partir de quina distància del timbre els alumnes deixaran de sentir el so? [1 punt, segons la pauta]
Dada: Les persones no poden percebre els sons que tenen una intensitat inferior a I0 = 1,0 × 10–12 W m–2. Suposeu que el timbre és un emissor de so puntual que emet en totes les direccions.
0,3Escriure la definició del nivell d'intensitat, β = 10·log(I/I₀).
0,2Substituir-hi β = 50 dB i I₀ = 10⁻¹² W/m².
0,2Desfer el logaritme: I/I₀ = 10⁵.
0,3Obtenir I = 10⁻⁷ W/m².
b)
Potència del timbre. Una font puntual reparteix la potència per igual sobre esferes centrades en ella: I = P/(4πr2). A 7,0 m: P = I·4πr2 = 10−7·4π·7,02 = 6,2·10−5 W.
Distància a partir de la qual no se sent. El so deixa de sentir-se quan la intensitat baixa fins al llindar, I = I0: P/(4πr2) = I0 → r = √(P/(4πI0)) = √(6,2·10−5/(4π·10−12)) = 2,2·103 m. Més enllà d'uns 2,2 km els alumnes ja no el sentirien.
Com puntua la pauta
0,3Relacionar intensitat i potència per a una font puntual, I = P/(4πr²).
0,2Calcular la potència, P = 6,2·10⁻⁵ W.
0,3Plantejar que el so deixa de sentir-se quan I = I₀.
Les sis cordes d’una guitarra vibren entre dos punts fixos (el pont i la celleta). Per a certes freqüències de vibració de la corda es generen ones estacionàries entre tots dos extrems. Si la guitarra està afinada, la vibració de la primera corda en el mode fonamental correspon a la nota mi, de 330 Hz.
a)Determineu la longitud d’ona del mode fonamental, si la longitud de la corda són 65,0 cm, i calculeu també la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, generen l’ona estacionària. [1 punt, segons la pauta]
b)Si un espectador situat a 3,0 m de distància de la guitarra percep una sensació sonora de 30 dB, quina sensació sonora percebrà si sonen tres guitarres idèntiques tocant la mateixa nota? [1 punt, segons la pauta]
Longitud d'ona del mode fonamental. Els dos extrems de la corda estan fixos i, per tant, hi ha un node a cadascun. En el mode fonamental (primer harmònic) entre aquests dos nodes només hi ha un ventre: la corda fa mitja longitud d'ona. Així, L = λ0/2 i λ0 = 2L = 2·0,650 = 1,30 m.
Velocitat de propagació. Les dues ones que viatgen en sentits oposats i formen l'ona estacionària tenen la longitud d'ona i la freqüència del mode: v = λ0·ν0 = 1,30·330 = 429 m/s.
Com puntua la pauta
0,5Veure que en el mode fonamental la longitud d'ona és el doble de la corda: λ₀ = 2L = 1,30 m.
0,5Calcular la velocitat de propagació amb v = λ₀·ν₀: 429 m/s.
b)
Una guitarra. Si I1 és la intensitat que arriba a l'espectador quan sona una sola guitarra, el nivell que percep és β1 = 10·log(I1/I0) = 30 dB.
Tres guitarres. Les tres guitarres són iguals i són a la mateixa distància, i les intensitats de fonts independents se sumen: I3 = 3·I1.
Nova sensació sonora. β3 = 10·log(I3/I0) = 10·log(3·I1/I0) = 10·log 3 + 10·log(I1/I0) = 10·log 3 + 30 = 4,8 + 30 = 35 dB (34,8 dB). Triplicar la intensitat només afegeix uns 5 dB.
Com puntua la pauta
0,2Escriure el nivell amb una guitarra, β₁ = 10·log(I₁/I₀) = 30 dB.
0,2Veure que amb tres guitarres la intensitat es triplica: I₃ = 3·I₁.
0,6Separar el logaritme, β₃ = 10·log 3 + β₁, i obtenir 35 dB.
Observem que dues boies de senyalització en una zona de bany d’una platja, separades una distància de 2 m, oscil·len de la mateixa manera amb l’onatge de l’aigua del mar. Veiem que la mínima distància en què té lloc aquest fet és, justament, la separació entre les dues boies. Comptem que oscil·len trenta vegades en un minut i observem que pugen fins a una alçada de 20 cm.
a)Determineu la freqüència, la longitud d’ona i la velocitat de les ones del mar. [1 punt, segons la pauta]
b)Escriviu l’equació que descriu el moviment de les boies en funció del temps, si comencem a comptar el temps quan les boies són en la posició més alta. Escriviu l’equació de la velocitat de les boies en funció del temps. [1 punt, segons la pauta]
Període. Les boies fan 30 oscil·lacions en un minut (60 s): T = 60 s/30 = 2 s.
Freqüència.f = 1/T = 1/2 = 0,5 Hz.
Longitud d'ona. Les dues boies oscil·len igual, és a dir, en fase, i són els punts més pròxims que ho fan. Per tant, la seva separació és una longitud d'ona: λ = 2 m.
Velocitat de les ones.v = λ·f = 2·0,5 = 1 m/s.
Com puntua la pauta
0,3Calcular el període a partir del recompte, T = 2 s.
0,2Obtenir f = 1/T = 0,5 Hz.
0,2Identificar la separació entre les boies amb la longitud d'ona, λ = 2 m.
0,3Calcular v = λ·f = 1 m/s.
b)
Forma general. Cada boia puja i baixa amb un MHS. Amb y mesurada des de la posició d'equilibri, y = A·sin(ωt + φ).
Freqüència angular. ω = 2πf = 2π·0,5 = π rad/s.
Fase inicial. A t = 0 les boies són a la posició més alta, y = A: A = A·sin φ → sin φ = 1 → φ = π/2 rad.
Equació del moviment. L'amplitud és l'alçada que pugen respecte de l'equilibri, A = 20 cm = 0,20 m: y = 0,20·sin(πt + π/2), amb y en m i t en s. Amb cosinus s'escriu y = 0,20·cos(πt).
Velocitat. Derivem respecte del temps: v = dy/dt = Aω·cos(ωt + φ), i amb valors v = 0,20·π·cos(πt + π/2), amb v en m/s i t en s.
Com puntua la pauta
0,1Escriure la forma general y = A·sin(ωt + φ).
0,1Calcular ω = 2πf = π rad/s.
0,2Imposar y = A a t = 0 i obtenir φ = π/2.
0,3Escriure l'equació del moviment amb valors i unitats.
0,3Derivar per obtenir l'equació de la velocitat, amb unitats.
Un telèfon mòbil conté un motor vibrador que genera un moviment harmònic simple (al llarg de l’eix y) al xassís del dispositiu quan es reben trucades o notificacions. Suposem que aquest moviment té una amplitud de 2,00 mm i una freqüència de 150 Hz.
3.1.Escriviu l’equació de moviment del telèfon si considerem que inicialment es troba a la posició d’equilibri y = 0 m. Quan es col·loca el telèfon damunt d’una superfície metàl·lica rígida, les vibracions es transmeten al material i generen ones mecàniques transversals que es propaguen a 3 200 m s–1. Calculeu la longitud d’ona de l’ona mecànica que es propaga per la superfície i escriviu l’equació de l’ona corresponent, suposant que la propagació es produeix en el sentit positiu de l’eix x, que inicialment es troba en la posició d’equilibri y = 0 m, i que l’amplitud de l’ona és de 2,00 mm. [1,25 punts]
3.2.Suposant que el telèfon emet una potència acústica d’1,00 mW durant la vibració i que el so es propaga per l’aire de manera isotròpica (uniformement en totes direccions), calculeu el nivell d’intensitat sonora que percebrà una persona situada a 3,00 m del telèfon. [1,25 punts]
Dades: I0 = 10–12 W m–2. Nota: Assumiu que el front d’ona és esfèric.
Equació del MHS. Escrivim y(t) = A·sin(ωt + φ0), amb A = 2,00·10−3 m i ω = 2πf = 2π·150 = 300π rad/s (942 rad/s). A t = 0 el telèfon és a l'equilibri: 0 = A·sin φ0 → φ0 = 0 (o π rad, perquè no se sap cap on es mou al principi). Per tant, y(t) = 2,00·10−3·sin(300πt), amb y en m i t en s. Amb cosinus seria y(t) = 2,00·10−3·cos(300πt − π/2).
Longitud d'ona. λ = v/f = 3 200/150 = λ = 21,3 m.
Equació de l'ona. El nombre d'ona és k = 2π/λ = 2π/21,3 = k = 0,294 m−1. Per a una ona que avança en el sentit positiu de l'eix x, y(x, t) = A·sin(kx − ωt + φ0). La condició y(0, 0) = 0 dona sin φ0 = 0 → φ0 = 0 (o π rad). Així, y(x, t) = 2,00·10−3·sin(0,294x − 300πt), amb x i y en m i t en s (o, amb cosinus, 2,00·10−3·cos(0,294x − 300πt − π/2)). El signe relatiu entre kx i ωt ha de ser negatiu perquè l'ona avanci cap a les x positives.
Com puntua la pauta
0,5Escriure l'equació del MHS amb ω = 300π rad/s i deduir la fase inicial de y(0) = 0: y(t) = 2,0·10⁻³·sin(300πt) (o una forma equivalent). Es resten 0,25 si no s'analitza la condició inicial.
0,25Calcular la longitud d'ona: λ = v/f = 21,3 m.
0,5Calcular k = 0,294 m⁻¹ i escriure l'equació de l'ona, y(x, t) = 2,0·10⁻³·sin(0,294x − 300πt). Es resten 0,25 si la fase és kx + ωt.
3.2.
Intensitat a 3,00 m. Amb front d'ona esfèric, la potència es reparteix sobre una esfera de radi r: I = P/(4πr2) = 1,00·10−3/(4π·3,002) = I = 8,84·10−6 W/m2.
La sirena d’una alarma d’un edifici emet una ona sonora de 0,136 m de longitud d’ona, que en l’aire es propaga a una velocitat d’uns 340 m/s. L’ona sonora arriba a un observador que està aturat en un semàfor, segons la direcció de l’eix x en sentit positiu i amb una amplitud A0.
a)Escriviu l’equació de l’ona harmònica plana, A(x, t), que arriba a l’observador. Suposeu que la fase inicial és zero. [1,25 punts]
b)A continuació, el semàfor es posa verd, i l’observador es posa en moviment i s’acosta a l’alarma a una velocitat constant. En aquestes condicions, l’observador percep un canvi de la freqüència de l’ona. Quin canvi de la freqüència percep l’observador? Quin o quins dels arguments següents descriuen millor aquest fenomen?: 1. El canvi de la freqüència és degut al moviment de la font. 2. L’aparent canvi de la freqüència és degut al moviment relatiu entre la font i l’observador. 3. El canvi en la longitud d’ona de la font és degut al moviment de l’observador. 4. L’aparent canvi de la longitud d’ona és degut al moviment de l’observador. Justifiqueu la tria i per què heu descartat la resta d’arguments, i indiqueu el fenomen en què us heu basat. [1,25 punts]
Nombre d'ona, freqüència i freqüència angular. A partir de λ = 0,136 m i v = 340 m/s: k = 2π/λ = 2π/0,136 = 46,2 m−1; f = 1/T = v/λ = 340/0,136 = 2 500 Hz; ω = 2πf = 2π·2 500 = 15 710 rad/s.
Equació de l'ona. Una ona harmònica plana que avança en el sentit positiu de l'eix x, amb fase inicial nul·la, es pot escriure de diverses maneres equivalents: A(x, t) = A0·sin(kx − ωt) = A0·sin k(x − vt) = A0·sin 2π(x/λ − t/T) = A0·sin 2πf(x/v − t). Amb els valors calculats: A(x, t) = A0·sin(46,2x − 15 710t), amb x en m i t en s.
Com puntua la pauta
0,5Calcular el nombre d'ona (46,2 m⁻¹), la freqüència (2 500 Hz) i la freqüència angular (15 710 rad/s).
0,75Escriure l'equació de l'ona plana que avança cap a les x positives, A(x, t) = A₀·sin(46,2x − 15 710t), o una forma equivalent.
b)
Què percep. En acostar-se a l'alarma, l'observador sent un so més agut: una freqüència més alta que l'emesa. És l'efecte Doppler.
Argument correcte. El que descriu millor el fenomen és el 2: el canvi de freqüència és aparent i es deu al moviment relatiu entre la font i l'observador.
Per què no l'1. La sirena està quieta i continua emetent la mateixa freqüència: el canvi només el percep l'observador, no el produeix la font.
Per què no el 3. La longitud d'ona que emet la font no canvia pel fet que l'observador es mogui.
Per què no el 4. La longitud d'ona del so a l'aire tampoc canvia: les crestes continuen igual d'espaiades. A més, el que importa és el moviment relatiu entre observador i font, no només el de l'observador.
Per què el 2. L'oïda distingeix els sons per la seva freqüència. Quan l'observador avança cap a la font, va a trobar les crestes i el temps entre dues crestes que li arriben s'escurça: percep una freqüència més gran. A més, l'argument parla de moviment relatiu, que és el que compta, sense suposar que la font o l'observador hagin d'estar en repòs.
Com puntua la pauta
0,25Dir que percep un so més agut (més freqüència) i associar-ho a l'efecte Doppler.
0,2Triar l'argument 2 com a correcte.
0,2Descartar l'1: la freqüència emesa no canvia i la font està en repòs.
0,2Descartar el 3: la longitud d'ona de la font no canvia.
0,2Descartar el 4: la longitud d'ona no canvia i el que importa és el moviment relatiu.
0,2Justificar per què el 2 és el millor: l'oïda percep la freqüència, que augmenta aparentment perquè les crestes arriben més seguides, i el moviment és relatiu.
El volcà Cumbre Vieja va entrar en erupció el 19 de setembre de 2021 a l’illa de La Palma. El so de l’erupció volcànica va ser mesurat per un equip de vulcanòlegs, que van detectar que estava format per diferents freqüències i que tenia un nivell d’intensitat sonora variant. Pel que fa al so que produeix en alguns moments de l’erupció, un volcà es pot modelitzar com si fos un instrument musical de vent gegant. D’una manera simplificada, podem considerar un volcà com un tub d’aire amb un extrem tancat i l’altre obert, on es produeixen ones estacionàries d’una manera semblant a una trompeta.
a)En un moment determinat de l’erupció del Cumbre Vieja, es va detectar que la freqüència fonamental del so que emetia era de 5,40 Hz. Calculeu la longitud d’ona d’aquest so. Dibuixeu el perfil de l’ona estacionària corresponent i calculeu la longitud del tub, que correspon a la longitud del tram de la xemeneia ple d’aire. [1,25 punts]
b)En un moment de l’erupció, es va detectar un nivell d’intensitat sonora de 72,0 dB a la localitat de Todoque, que és a 5,22 km del con del volcà. Calculeu el nivell d’intensitat sonora que se sentirà des de la costa de l’illa d’El Hierro, que és a 92,3 km del volcà Cumbre Vieja. (Suposeu que no hi ha obstacles en la propagació del so entre el volcà Cumbre Vieja i l’illa d’El Hierro.) [1,25 punts]
Dades: I0 = 10–12 W m–2. La velocitat del so en l’aire és de 340 m/s.
Longitud d'ona.v = λ/T = λ·f → λ = v/f = 340/5,40 = 63,0 m.
Perfil de l'ona estacionària. La lava fa de fons tancat: l'aire no s'hi pot moure i hi ha un node (N). L'extrem superior és obert, i hi ha un ventre (V). En el fonamental, entre el node i el ventre hi ha només un quart de longitud d'ona.
Harmònic fonamental a la xemeneia: node (N) a la lava, que fa de fons tancat, i ventre (V) a l'extrem obert.
Longitud del tub.L = λ/4 = 63,0/4 = 15,7 m.
Com puntua la pauta
0,4Calcular la longitud d'ona, λ = v/f = 63,0 m.
0,4Dibuixar el perfil correcte, amb el node a la superfície de la lava i el ventre a l'extrem obert.
0,45Calcular la longitud del tub, L = λ/4 = 15,7 m.
b)
Intensitat a Todoque. Amb β1 = 72,0 dB i r1 = 5,22·103 m: β1 = 10·log(I1/I0) → I1 = I0·10β1/10 = 10−12·107,2 = 1,58·10−5 W/m2.
Intensitat a El Hierro. La potència emesa és la mateixa i es reparteix en superfícies esfèriques cada cop més grans: I = P/A → I1·A1 = I2·A2 → I2 = I1·A1/A2 = I1·r12/r22 = 1,58·10−5·(5,22·103)2/(92,3·103)2 = 5,07·10−8 W/m2.
Nivell sonor a El Hierro. β2 = 10·log(I2/I0) = 10·log(5,07·10−8/10−12) = 47,0 dB.
Com puntua la pauta
0,4Obtenir la intensitat sonora a Todoque a partir del nivell, I₁ = 1,58·10⁻⁵ W/m².
0,6Relacionar les intensitats amb el quadrat de les distàncies (mateixa potència) i obtenir I₂ = 5,07·10⁻⁸ W/m².
0,25Calcular el nivell d'intensitat sonora a El Hierro, β₂ = 47,0 dB.
Una corda de 60 cm té els extrems fixats i oscil·la amb una freqüència de 200 Hz en un mode que té quatre nodes: dos nodes als extrems i dos nodes interns. El punt central de la corda oscil·la amb una amplitud de 2 cm. Calculeu:
a)La velocitat de propagació de l’ona per la corda, la longitud de l’ona i la velocitat vertical màxima al centre de la corda. [1,25 punts]
b)L’amplitud de l’oscil·lació d’un punt de la corda situat a 10 cm d’un dels extrems. L’amplitud de l’oscil·lació d’un punt de la corda situat a 20 cm d’un dels extrems. Justifiqueu les respostes. [1,25 punts]
Harmònic i longitud d'ona. Un mode amb quatre nodes (dos als extrems) té tres ventres: és el tercer harmònic. Dins la corda hi ha una ona i mitja, L = 1,5·λ, és a dir, λ = 2L/3 = 2·60/3 = 40 cm = 0,4 m.
Mode amb quatre nodes (tercer harmònic) de la corda de 60 cm: nodes a 0, 20, 40 i 60 cm i ventres a 10, 30 i 50 cm. Les línies contínua i discontínua són les dues posicions extremes de la corda; N = node, V = ventre.
Velocitat de propagació.v = λ·f = 0,4·200 = 80 m/s.
Velocitat vertical màxima al centre. L'ona estacionària és y(x, t) = A·sin kx·cos ωt. Derivant respecte del temps, la velocitat vertical de cada punt és v(x, t) = dy/dt = −Aω·sin kx·sin ωt. Al centre, l'amplitud d'oscil·lació és A·sin kx = 2 cm, de manera que vmàx = A·sin kx·2πf = 0,02·2π·200 = 25,1 m/s. (És el mateix que dir que el centre fa un MHS d'amplitud 2 cm: vmàx = Aω.)
Com puntua la pauta
0,5Reconèixer el tercer harmònic (quatre nodes) i obtenir λ = 2L/3 = 0,4 m.
0,4Calcular la velocitat de propagació, v = λ·f = 80 m/s.
0,35Obtenir la velocitat vertical màxima al centre, A·ω = 0,02·2π·200 = 25,1 m/s (derivant l'equació de l'ona estacionària o com a MHS d'amplitud 2 cm).
b)
Punt a 10 cm d'un extrem. L'extrem és un node i 10 cm és λ/4: com es veu a la figura de l'apartat a, en aquest punt hi ha un ventre. Tots els ventres oscil·len amb la mateixa amplitud que el centre (que també és un ventre), així que l'amplitud és 2,00 cm.
Punt a 20 cm d'un extrem. A 20 cm de l'extrem estem a λ/2 d'un node, i dos nodes consecutius estan separats λ/2: aquest punt és un altre node i no oscil·la. L'amplitud hi és 0 cm.
Com puntua la pauta
0,65Justificar que a 10 cm hi ha un ventre i que l'amplitud és 2,00 cm.
0,6Justificar que a 20 cm (λ/2 del node de l'extrem) hi ha un node i l'amplitud és 0.
El camp elèctric d’un feix de llum emès per un làser quan passa a través d’un vidre el podem expressar amb l’equació E⃗(x, t) = 28 cos(2,4 × 1015t – 1,2 × 107x)k⃗, tot en unitats del sistema internacional.
a)Determineu la longitud d’ona i la velocitat de l’ona electromagnètica dins d’aquest vidre. Quant val l’índex de refracció d’aquest vidre? Quan la llum canvia de medi, la freqüència de l’ona electromagnètica no canvia. Quina és la longitud d’ona quan aquest feix de llum viatja pel buit? [1,25 punts]
b)Quina és la direcció de propagació d’aquesta ona? En quin eix oscil·la el camp magnètic? Justifiqueu la resposta. [1,25 punts]
Equació general d'una ona harmònica. Una ona harmònica que avança en el sentit positiu de l'eix x es pot escriure ψ(x, t) = A·cos(ωt − kx) = A·cos 2π(t/T − x/λ). Aquí k és el nombre d'ona, que no s'ha de confondre amb el vector unitari k⃗ que dona la direcció del camp.
Freqüència angular, nombre d'ona, període i freqüència. Comparant amb l'equació de l'enunciat: ω = 2,40·1015 rad/s i k = 1,20·107 rad/m. D'aquí, T = 2π/ω = 2π/2,40·1015 = 2,618·10−15 s i f = 1/T = ω/2π = 3,82·1014 Hz.
Longitud d'ona dins del vidre. λ = 2π/k = 2π/1,20·107 = 5,24·10−7 m.
Velocitat dins del vidre.v = λ/T = λ·f = 5,24·10−7·3,82·1014 = 2,00·108 m/s.
Índex de refracció.n = c/v = 3,00·108/2,00·108 = 1,5.
Longitud d'ona al buit. La freqüència no varia en sortir del vidre, però al buit la llum es propaga a c = 3,00·108 m/s. Per tant, λbuit = c/f = 3,00·108/3,82·1014 = 7,85·10−7 m.
Com puntua la pauta
0,25Escriure l'equació general d'una ona harmònica, ψ(x, t) = A·cos(ωt − kx).
0,25Identificar ω i k i obtenir-ne el període i la freqüència (3,82·10¹⁴ Hz).
0,1Calcular la longitud d'ona al vidre, λ = 2π/k = 5,24·10⁻⁷ m.
0,1Calcular la velocitat al vidre, v = λ·f = 2,00·10⁸ m/s.
0,2Calcular l'índex de refracció, n = c/v = 1,5.
0,15Indicar que al buit la llum va a c = 3,00·10⁸ m/s.
0,2Calcular la longitud d'ona al buit amb la mateixa freqüència, 7,85·10⁻⁷ m.
b)
Direcció de propagació. L'argument del cosinus només depèn del temps i de la coordenada x: l'ona es propaga al llarg de l'eix x (el signe − entre ωt i kx indica que avança cap a les x positives).
Direcció del camp magnètic. En una ona electromagnètica els camps E⃗ i B⃗ són perpendiculars entre si i, alhora, perpendiculars a la direcció de propagació. El camp elèctric té la direcció del vector unitari k⃗, és a dir, oscil·la en l'eix z, i l'ona avança en l'eix x. L'única direcció perpendicular a totes dues és la de l'eix y: el camp magnètic oscil·la en l'eix y.
Com puntua la pauta
0,65Justificar que l'ona es propaga en l'eix x perquè és la coordenada que apareix a l'argument.
0,6Raonar que B és perpendicular a la propagació (x) i a E (eix z, vector k) i, per tant, oscil·la en l'eix y.
Hem recollit el so produït per un instrument musical i n’hem obtingut l’espectre representat en la figura. Els pics que hi apareixen corresponen als diferents harmònics del so produït i s’han etiquetat amb lletres de la A a la H. El pic B correspon a una freqüència de 880 Hz.
Espectre del so de l'instrument: nivell d'intensitat sonora en funció de la freqüència.
a)Digueu si el so produït per l’instrument musical és un to pur o bé és un so complex i justifiqueu la resposta. Indiqueu quin és el pic que correspon a la freqüència fonamental i quina és aquesta freqüència. Indiqueu també a quina freqüència s’espera trobar el pic següent (pic I), que no ha cabut a la figura. [1 punt]
b)El pic amb més nivell d’intensitat (pic C) arriba a 87 dB, mentre que el pic F arriba a 60 dB. Quantes vegades és més gran la intensitat sonora corresponent al pic C que la del pic F? [1 punt]
To pur o so complex. És un so complex: l'espectre té molts pics, és a dir, el so és la superposició de components de freqüències diferents. Un to pur tindria un sol pic.
Freqüència fonamental. Els pics estan igualment espaiats i el primer, el pic A, és el fonamental. El pic B és el segon harmònic, amb el doble de freqüència, de manera que f0 = 880/2 = 440 Hz (pic A).
Pic I. Els harmònics tenen freqüències fn = n·f0 = n·440 Hz. De A a H hi ha 8 pics, i el pic I seria el novè: f9 = 9·440 = 3 960 Hz.
Com puntua la pauta
0,3Dir que és un so complex perquè l'espectre conté moltes freqüències.
0,4Identificar el pic A com el fonamental i obtenir 880/2 = 440 Hz.
0,3Calcular la freqüència del pic I, f₉ = 9·440 = 3 960 Hz.
b)
Definició del nivell.LI = 10·log(I/I0).
Intensitat a partir del nivell. Aïllant la intensitat: I = I0·10LI/10.
Quocient.IC = I0·108,7 i IF = I0·106, de manera que IC/IF = 108,7/106 = 102,7 = 501 ≈ 500.
Conclusió. La intensitat del pic C és unes 500 vegades més gran que la del pic F, tot i que els nivells només es diferencien en 27 dB.
Com puntua la pauta
0,2Escriure la definició del nivell d'intensitat sonora.
0,2Aïllar la intensitat, I = I₀·10^(L/10).
0,4Calcular el quocient I C/I F = 10^2,7 ≈ 501.
0,2Concloure que el pic C és unes 500 vegades més intens que el pic F.
Un sistema vibrador situat al punt x = 0 oscil·la tal com s’indica en aquest gràfic elongació-temps i transmet el moviment a una corda, de manera que es genera una ona transversal amb una longitud d’ona de 20,0 cm.
Elongació del vibrador situat a x = 0 en funció del temps.
a)Determineu el període, l’amplitud i la freqüència de la vibració i la velocitat de propagació de l’ona per la corda. Escriviu l’equació de l’ona plana (no oblideu indicar totes les unitats de les magnituds que hi apareixen). [1 punt, segons la pauta]
b)Demostreu, a partir de l’equació d’ona, que la velocitat màxima a la qual es mouen els punts de la corda en les seves oscil·lacions es pot calcular amb l’expressió vmax = Aω (en què A és l’amplitud i ω és la pulsació). [1 punt, segons la pauta]
Lectura del gràfic. La corba torna a ser màxima a 1,25 ms, 2,5 ms i 3,75 ms, de manera que el període és T = 1,25 ms. L'elongació oscil·la entre −1,5 cm i +1,5 cm: l'amplitud és A = 1,5 cm.
Freqüència.f = 1/T = 1/(1,25·10−3) = 800 Hz.
Velocitat de propagació.v = λ·f = 0,200·800 = 160 m/s.
Forma de l'equació. L'elongació transversal dels punts de la corda (el gràfic l'anomena x; a l'equació l'escrivim y perquè x és la posició al llarg de la corda) és y(x, t) = A·cos(ωt − kx + φ0). A x = 0 i t = 0 l'elongació és màxima, +A; amb el cosinus això vol dir φ0 = 0 (si s'escriu amb sinus, φ0 = π/2 rad).
Pulsació i nombre d'ona. ω = 2πf = 2π·800 = 1 600π rad/s ≈ 5 027 rad/s; k = 2π/λ = 2π/0,200 = 10π rad/m ≈ 31,4 rad/m.
Equació amb valors.y(x, t) = 1,5 cm · cos(1 600π rad/s · t − 10π rad/m · x), amb t en s i x en m.
Com puntua la pauta
0,1Llegir el període al gràfic, T = 1,25 ms.
0,1Llegir l'amplitud, A = 1,5 cm.
0,1Calcular la freqüència, f = 1/T = 800 Hz.
0,1Calcular la velocitat de propagació, v = λf = 160 m/s.
0,2Escriure l'equació general de l'ona amb la fase inicial correcta (φ₀ = 0 amb cosinus).
0,1Calcular la pulsació, ω = 1 600π rad/s.
0,1Calcular el nombre d'ona, k = 10π rad/m.
0,2Escriure l'equació amb els valors i les unitats.
b)
Velocitat d'un punt de la corda. Cada punt de la corda té una posició x fixa; la seva velocitat d'oscil·lació és la derivada de l'elongació respecte del temps: vy(x, t) = dy/dt = −Aω·sin(ωt − kx + φ0).
Valor màxim. A mesura que la fase ωt − kx + φ0 pren tots els valors, el sinus recorre tots els valors entre −1 i +1. Per tant, el mòdul de la velocitat és màxim quan el sinus val ±1: vmax = Aω.
Com puntua la pauta
0,4Derivar l'equació de l'ona respecte del temps: v_y = −Aω·sin(ωt − kx + φ₀).
0,6Raonar que el sinus varia entre −1 i +1 i, per tant, la velocitat màxima és Aω.
La corda d’un violí fa 32 cm de llargària i vibra amb una freqüència fonamental de 196 Hz.
a)Expliqueu raonadament quina és la longitud d’ona del mode fonamental i digueu en quins punts de la corda hi ha els nodes i els ventres. Calculeu la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, han generat l’ona estacionària de la corda. [1 punt, segons la pauta]
b)Dibuixeu, de manera esquemàtica, el perfil de l’ona estacionària del tercer i del cinquè modes de vibració i calculeu-ne les freqüències. [1 punt, segons la pauta]
Harmònics d’una corda fixa. Els dos extrems de la corda no es poden moure, així que són nodes. Entre dos nodes consecutius hi ha mitja longitud d'ona, de manera que a la corda hi ha de cabre un nombre enter de mitges longituds d'ona: n·λ/2 = L, amb n = 1, 2, 3…
Longitud d'ona del mode fonamental. El mode fonamental és el de n = 1: λ = 2L = 2·32 = 64 cm.
Nodes i ventres. En aquest mode hi ha un node a cada extrem de la corda i un ventre just al mig, a 16 cm de cada extrem.
Velocitat de propagació.vp = λ·ν = 0,64·196 = 125 m/s (125,4 m/s).
Com puntua la pauta
0,2Escriure la condició dels harmònics d'una corda fixa, n·λ/2 = L.
0,2Obtenir per a n = 1 la longitud d’ona λ = 2L = 64 cm.
0,2Situar els nodes als extrems i el ventre al centre de la corda.
0,2Escriure v_p = λ·ν.
0,2Obtenir v_p = 125 m/s.
b)
Tercer mode. Amb n = 3 la corda fa tres fusos (figura). λ3 = 2L/3 = 2·32/3 = 21,3 cm i ν3 = vp/λ3 = 125,4/0,213 = 588 Hz, que és 3·196 Hz. (La pauta, amb vp = 125 m/s, dona 587 Hz.)
Tercer mode de vibració: tres fusos, quatre nodes (N) i tres ventres (V).
Cinquè mode. Amb n = 5 la corda fa cinc fusos (figura). λ5 = 2L/5 = 2·32/5 = 12,8 cm i ν5 = vp/λ5 = 125,4/0,128 = 980 Hz, que és 5·196 Hz. (La pauta, amb vp = 125 m/s, dona 977 Hz.)
Cinquè mode de vibració: cinc fusos, sis nodes (N) i cinc ventres (V).
Com puntua la pauta
0,3Dibuixar el perfil del tercer mode, amb tres fusos.
0,1Obtenir λ₃ = 2L/3 = 21,3 cm.
0,1Calcular ν₃ = v_p/λ₃ ≈ 587 Hz.
0,3Dibuixar el perfil del cinquè mode, amb cinc fusos.
El clarinet és un instrument de fusta en forma de tub en el qual es generen ones estacionàries. L’instrument es pot assimilar a un tub ple d’aire obert per un extrem i tancat per l’altre. La figura mostra el mode tercer harmònic, on l’aire vibra amb una freqüència de 637 Hz.
El clarinet com un tub obert per un extrem (esquerra) i tancat per l’altre (dreta), vibrant en el mode tercer harmònic.
a)Quina és la llargària del clarinet? [1 punt, segons la pauta]
b)Si la nota es toca amb una intensitat d’1,00 × 10–5 W m–2 i produeix una intensitat sonora determinada a dos metres de distància, en quants decibels augmenta el nivell de sensació sonora a la mateixa distància si la intensitat es duplica? [1 punt, segons la pauta]
Lectura de l'esquema. A l'extrem obert l'aire vibra amb amplitud màxima (ventre) i a l'extrem tancat no pot vibrar (node). A la figura, del ventre de l'extrem obert al primer node hi ha un quart de longitud d'ona, i després hi ha dos fusos sencers, de mitja longitud d'ona cadascun: L = λ3/4 + 2·λ3/2 = 5λ3/4, és a dir, λ3 = 4L/5. (És el tercer mode possible del tub: en un tub tancat per un extrem només hi ha els harmònics senars.)
Lectura de l’esquema: λ₃/4 des del ventre de l’extrem obert fins al primer node i dos fusos de λ₃/2 fins a l’extrem tancat.
Relació amb la freqüència. La velocitat del so lliga la longitud d'ona i la freqüència: vso = λ3·ν3 = (4L/5)·ν3.
Llargària del clarinet. Aïllant L: L = 5vso/(4ν3) = 5·340/(4·637) = 0,667 m (6,67·10−1 m).
Com puntua la pauta
0,4Deduir de l'esquema que L = 5λ₃/4, és a dir, λ₃ = 4L/5.
0,2Relacionar longitud d’ona i freqüència: v_so = λ₃·ν₃.
0,4Obtenir la llargària, L = 5v_so/(4ν₃) = 0,667 m.
b)
Nivell inicial. Si a dos metres arriba una intensitat I1, el nivell de sensació sonora és β1 = 10·log(I1/I0) dB.
Nivell amb la intensitat doble. Ara la intensitat és 2I1: β2 = 10·log(2I1/I0) = 10·log 2 + 10·log(I1/I0) = 10·log 2 + β1.
Augment. Δβ = β2 − β1 = 10·log 2 = 3,01 dB. L'augment no depèn del nivell de partida, i per això no calen ni la intensitat d'1,00·10−5 W m−2 ni la distància.
Com puntua la pauta
0,4Escriure el nivell inicial, β₁ = 10·log(I₁/I₀).
0,4Escriure el nou nivell amb intensitat 2I₁ i separar-lo com a 10·log 2 + β₁.
Una ona transversal avança per una corda. L’emissor que la produeix vibra amb una freqüència de 25,0 Hz. Considereu que l’ona avança en el sentit positiu de l’eix x. El centre emissor està situat a l’origen de coordenades, i l’elongació en l’instant inicial és nul·la. Sabem que la distància entre dos punts consecutius que estan en el mateix estat de vibració és 24,0 cm i que l’amplitud de l’ona és 3,00 cm. Calculeu:
a)La velocitat de l’ona, la freqüència angular (pulsació), el nombre d’ona i l’equació de l’ona. [1 punt, segons la pauta]
b)La velocitat d’oscil·lació i l’acceleració d’un punt situat en x = 6,00 m en l’instant t = 3,00 s. [1 punt, segons la pauta]
Freqüència i longitud d'ona. La freqüència de l'ona és la de l'emissor, ν = 25,0 Hz. Dos punts consecutius en el mateix estat de vibració estan separats una longitud d'ona: λ = 24,0 cm = 0,240 m.
Velocitat de l'ona.v = λ·ν = 0,240·25,0 = 6,00 m/s.
Forma general. Com que l'ona avança cap a les x positives, y(x, t) = A·sin(ωt − kx + φ). Es pot fer amb sinus o amb cosinus, però el terme kx ha d'anar amb signe negatiu.
Fase inicial. A l'origen i a t = 0 l'elongació és nul·la: y(0, 0) = A·sin φ = 0 → φ = 0.
Equació de l'ona. Amb A = 3,00 cm = 0,03 m, i traient factor comú 50π (ja que k/ω = 1/v = 1/6): y(x, t) = 0,03·sin[50π(t − x/6)], amb y i x en m i t en s. Amb cosinus, la fase inicial seria ±π/2.
Com puntua la pauta
0,1Identificar ν = 25 Hz i λ = 0,24 m.
0,2Calcular v = λ·ν = 6,00 m/s.
0,1Calcular ω = 2πν = 157 rad/s.
0,2Calcular k = 2π/λ = 26,2 m⁻¹.
0,1Escriure la forma general de l'ona amb −kx.
0,1Imposar y(0, 0) = 0 i obtenir φ = 0.
0,2Escriure l'equació de l'ona amb valors i unitats.
Valor a x = 6,00 m i t = 3,00 s. L'argument val 50π(3 − 6/6) = 100π, i cos(100π) = 1: v = 1,5π = 4,71 m/s.
Acceleració. Tornem a derivar: a(x, t) = dv/dt = −1,5π·50π·sin[50π(t − x/6)] = −75π2·sin[50π(t − x/6)], en m/s2.
Valor de l'acceleració. Amb el mateix argument, sin(100π) = 0: a = 0. En aquest instant el punt passa per la posició d'equilibri, on la velocitat d'oscil·lació és màxima.
Com puntua la pauta
0,3Derivar per obtenir l'expressió de la velocitat d'oscil·lació.
0,2Avaluar-la: 1,5π = 4,71 m/s.
0,3Derivar la velocitat per obtenir l'expressió de l'acceleració.
Les cordes d’una guitarra tenen una longitud de 78,0 cm. Sabem que una de les cordes, quan vibra en el seu harmònic fonamental, emet un la, que correspon a una freqüència de 220 Hz.
a)Dibuixeu el perfil de l’ona quan la corda vibra en l’harmònic fonamental. Quina serà la longitud d’ona del so produït? Quina és la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, han format l’ona estacionària de la corda? [1 punt, segons la pauta]
b)Dibuixeu la corda quan vibra i emet un so corresponent al tercer harmònic. Indiqueu, en aquest cas, els nodes i els ventres de l’ona i calculeu-ne les posicions. [1 punt, segons la pauta]
Perfil del fonamental. La corda està fixa pels dos extrems, que són nodes. En l'harmònic fonamental hi ha un sol ventre, al mig: la corda vibra formant un únic fus de longitud L.
Harmònic fonamental: un sol fus, amb un node a cada extrem i un ventre al mig.
Longitud d'ona. La corda fa mitja longitud d'ona: L = λ1/2 → λ1 = 2L = 2·78,0 = 156 cm. Seguint la pauta, aquesta és la longitud d'ona que es dona com a resposta (la de l'harmònic fonamental a la corda).
Velocitat de propagació. Les dues ones que, superposades, formen l'ona estacionària viatgen per la corda amb v = λ1·ν1 = 1,56·220 = 343 m/s.
Com puntua la pauta
0,2Dibuixar el perfil del fonamental: un fus amb nodes als extrems.
0,4Relacionar L = λ₁/2 i obtenir λ₁ = 156 cm.
0,4Calcular v = λ₁·ν₁ = 343 m/s.
b)
Perfil del tercer harmònic. Ara la corda vibra en tres fusos: hi ha quatre nodes (N1 a N4, comptant-hi els extrems) i tres ventres (V1 a V3).
Tercer harmònic: nodes N1–N4 i ventres V1–V3, amb les posicions mesurades des de l'extrem esquerre.
Longitud d'ona. Hi caben tres mitges longituds d'ona: L = 3·λ3/2 → λ3 = 2L/3 = 2·78,0/3 = 52,0 cm.
Posicions dels nodes. Mesurant des de l'extrem esquerre, els nodes es repeteixen cada λ3/2 = 26,0 cm: x(N1) = 0; x(N2) = 26,0 cm; x(N3) = 52,0 cm; x(N4) = 78,0 cm.
Posicions dels ventres. Cada ventre és a mig camí entre dos nodes consecutius: x(V1) = 13,0 cm; x(V2) = 39,0 cm; x(V3) = 65,0 cm.
Com puntua la pauta
0,3Dibuixar el perfil del tercer harmònic (tres fusos); no cal etiquetar-hi N i V.
Una ona harmònica transversal es propaga per una corda a una velocitat de 6,00 m/s. L’amplitud de l’ona és 20 mm i la distància mínima entre dos punts que estan en fase és 0,40 m. Considereu la direcció de la corda com l’eix x i que l’ona es propaga en el sentit positiu d’aquest eix.
a)Calculeu la longitud d’ona, el nombre d’ona, la freqüència, el període i la freqüència angular (pulsació). [1 punt, segons la pauta]
b)Escriviu l’equació de l’ona sabent que, en l’instant inicial, l’elongació d’un punt situat a l’origen de coordenades és màxima. Calculeu l’expressió de la velocitat amb què vibra un punt de la corda situat a una distància de 10 m respecte de l’origen de la vibració. Quina és la velocitat màxima d’aquest punt? [1 punt, segons la pauta]
Equació general i fase inicial. Per a una ona que avança cap a les x positives escrivim y = A·cos(ωt − kx + φ). A l'origen i a t = 0 l'elongació és màxima: y(0, 0) = A·cos φ = A → cos φ = 1 → φ = 0.
Equació amb valors. Amb A = 20 mm = 2,0·10−2 m: y = 2,0·10−2·cos(30πt − 5,0πx), amb y i x en m i t en s. També és vàlid escriure-la amb sinus, i aleshores la fase inicial és π/2.
Velocitat de vibració. Cada punt de la corda vibra transversalment, i la seva velocitat és la derivada temporal de l'elongació: v = dy/dt = −Aω·sin(ωt − kx + φ).
Punt situat a 10 m. Ara Aω = 2,0·10−2·30π = 0,60π m/s i kx = 5,0π·10 = 50π. Per tant, v(x = 10 m) = −0,60π·sin(30πt − 50π), amb v en m/s i t en s.
Velocitat màxima. És màxima quan el sinus val ±1: vmax = Aω = 2,0·10−2·30π = 0,6π = 1,9 m/s.
Com puntua la pauta
0,2Imposar la condició inicial y(0, 0) = A i obtenir φ = 0.
0,3Escriure l'equació de l'ona amb els valors i les unitats.
0,1Derivar l'elongació per obtenir l'expressió general de la velocitat de vibració.
0,2Particularitzar la velocitat per a x = 10 m, amb unitats.
Un raspall de dents elèctric es pot fer servir com un oscil·lador harmònic per a generar ones estacionàries en una corda. L’eix oscil·lador del raspall vibra amb una freqüència de 357 Hz. Si lliguem una corda elàstica a l’eix oscil·lador, engeguem el raspall i anem deixant anar corda i jugant amb la tensió que fem amb la mà, anirem observant diferents harmònics.
Esquema propi de la fotografia de l'examen: la corda, subjectada amb la mà (esquerra) i lligada a l'eix del raspall (dreta), vibrant en un dels harmònics.
3.1.Quin harmònic hi ha representat a la imatge de dalt? Per a l’harmònic representat, calculeu la longitud d’ona i la velocitat de propagació. Indiqueu en quina posició es troben els nodes i els ventres si la separació entre el primer i l’últim node és de 36,0 cm. [1,25 punts]
3.2.L’eix del raspall de dents oscil·la lateralment amb un moviment harmònic simple. Tenint en compte que l’amplitud del moviment és de 0,50 mm i el moviment comença quan l’eix metàl·lic es troba en el punt de màxim desplaçament, escriviu l’equació de la posició de l’eix metàl·lic del raspall de dents. Representeu gràficament en la quadrícula de sota un període complet del moviment. [1,25 punts]Quadrícula per representar el moviment.
Quin harmònic és. A la imatge es compten 5 nodes i 4 ventres (quatre fusos), així que és el quart harmònic.
Longitud d'ona. Entre el primer i l'últim node hi ha quatre fusos, és a dir, dues longituds d'ona completes: 2λ = 0,360 m → λ = 0,180 m.
Velocitat de propagació.v = λ·f = 0,180·357 = v = 64,3 m/s.
Nodes i ventres. Dos nodes consecutius estan separats λ/2 = 0,090 m, i cada ventre és a mig camí entre dos nodes, xV = (2n − 1)·λ/4. Comptant des del primer node: xN1 = 0; xN2 = 0,09 m; xN3 = 0,18 m; xN4 = 0,27 m; xN5 = 0,36 m i xV1 = 0,045 m; xV2 = 0,135 m; xV3 = 0,225 m; xV4 = 0,315 m.
Quart harmònic: nodes (N) i ventres (V) comptats des del primer node.
Com puntua la pauta
0,25Identificar el quart harmònic (5 nodes i 4 ventres).
0,25Veure que hi ha dues longituds d'ona: 2λ = 0,36 m → λ = 0,18 m.
0,25Calcular la velocitat: v = λ·f = 64,3 m/s.
0,5Situar els cinc nodes (cada 0,09 m) i els quatre ventres (0,045, 0,135, 0,225 i 0,315 m).
3.2.
Amplitud i freqüència angular.A = 0,50 mm = 5,0·10−4 m i ω = 2πf = 2π·357 = 714π = ω = 2 240 rad/s.
Equació general. Anomenem x la posició lateral de l'eix: x(t) = A·sin(ωt + φ0).
Fase inicial i equació. El moviment comença a l'extrem: x(0) = A → sin φ0 = 1 → φ0 = π/2 rad. Així, x(t) = 5,0·10−4·sin(2 240t + π/2), amb x en m i t en s; amb cosinus, x(t) = 5,0·10−4·cos(2 240t).
Període.T = 1/f = 1/357 = T = 2,80·10−3 s.
Gràfica. A la quadrícula prenem 0,5·10−3 s per divisió horitzontal (set divisions, fins a 3,5·10−3 s) i 2·10−4 m per divisió vertical (de −6·10−4 a 6·10−4 m). La corba és una cosinusoide que comença al màxim (5·10−4 m), passa per zero a 0,70·10−3 s, arriba al mínim a 1,40·10−3 s i torna al màxim a 2,80·10−3 s.
Posició de l'eix del raspall durant un període, x(t) = 5·10⁻⁴·cos(2240t) m (escala: 0,5·10⁻³ s i 2·10⁻⁴ m per divisió).
Com puntua la pauta
0,25Calcular ω = 2πf = 2 240 rad/s i expressar A = 5·10⁻⁴ m.
0,25Escriure l'equació general del MHS.
0,25Imposar x(0) = A per obtenir la fase inicial i escriure l'equació (sinus amb π/2 o cosinus amb fase 0).
0,2Calcular el període, T = 1/f = 2,80·10⁻³ s.
0,3Representar un període amb títols, unitats i una escala adequada.
Una flauta travessera és un tub metàl·lic obert pels dos extrems que té una longitud de 67,0 cm. El seu so abraça un interval extens de freqüències i és un instrument molt comú en orquestres.
a)Per a tocar la nota més greu, el flautista ha de tapar amb els dits tots els forats laterals del tub. Calculeu les freqüències del primer i el tercer harmònics d’una flauta travessera en aquest cas. Dibuixeu aquests dos harmònics i calculeu per a cada un la posició dels nodes i els ventres respecte d’un extrem de la flauta. [1,25 punts]
b)Tapem un dels extrems de la flauta de manera que aquesta es comporta com un tub amb un extrem obert i un de tancat. Dibuixeu l’ona estacionària corresponent al primer i el segon modes de vibració possibles i indiqueu els seus nodes i ventres. Calculeu la longitud d’ona i la freqüència d’aquests dos modes de vibració. [1,25 punts]
Primer harmònic. En un tub obert pels dos extrems hi ha ventres a tots dos extrems, i hi caben un nombre enter de mitges longituds d'ona: λn = 2L/n. Amb v = λ·f: fn = n·v/(2L) = n·343/(2·0,670) = n·256 Hz. Per tant, f1 = 256 Hz.
Tercer harmònic.f3 = 3·256 = f3 = 768 Hz.
On són els nodes i els ventres. Els ventres estan separats mitja longitud d'ona a partir de l'extrem, xV = n·λ/2, i els nodes queden just a mig camí entre dos ventres, xN = (2n + 1)·λ/4 (amb n = 0, 1, 2…).
Primer harmònic: posicions. λ1/2 = L = 0,670 m. Ventres: xV1 = 0 i xV2 = 0,670 m; node: xN1 = 0,335 m.
Tercer harmònic: posicions. λ3/2 = 0,670/3 = 0,223 m. Ventres: xV1 = 0; xV2 = 0,223 m; xV3 = 0,447 m; xV4 = 0,670 m. Nodes: xN1 = 0,112 m; xN2 = 0,335 m; xN3 = 0,558 m.
Primer i tercer harmònics de la flauta (tub obert pels dos extrems), amb els nodes (N) i els ventres (V).
Com puntua la pauta
0,25Escriure la condició del tub obert (λₙ = 2L/n, fₙ = n·v/2L) i obtenir f₁ = 256 Hz.
0,25Calcular el tercer harmònic: f₃ = 768 Hz.
0,25Justificar que hi ha ventres als extrems, separats λ/2, i nodes a mig camí entre ventres.
0,25Primer harmònic: ventres a 0 i 0,67 m i node a 0,335 m.
0,25Tercer harmònic: ventres a 0, 0,223, 0,447 i 0,67 m i nodes a 0,112, 0,335 i 0,558 m (amb el dibuix).
b)
Primer mode (tub tancat per un extrem). Amb un extrem tancat hi ha un node a l'extrem tancat i un ventre a l'obert, de manera que la longitud del tub ha de ser un nombre senar de quarts de longitud d'ona: λn = 4L/n i fn = v/λn = n·v/(4L), amb n = 1, 3, 5… El primer mode és n = 1: λ1 = 4·0,670 = 2,68 m i f1 = 343/2,68 = 128 Hz.
Segon mode. El següent mode possible és n = 3: λ3 = 4·0,670/3 = 0,893 m i f3 = 343/0,893 = 384 Hz.
Dibuix. En el primer mode hi ha un sol node (a l'extrem tancat) i un sol ventre (a l'obert); en el segon, el tub conté tres quarts de longitud d'ona: node, ventre, node i ventre.
Primer i segon modes de vibració amb un extrem tancat: sempre hi ha un node a l’extrem tancat i un ventre a l’obert.
Com puntua la pauta
0,4Escriure la condició del tub tancat per un extrem (λₙ = 4L/n, n senar) i calcular el primer mode: 2,68 m i 128 Hz.
0,35Calcular el segon mode (n = 3): 0,893 m i 384 Hz.
0,25Dibuixar el primer mode de vibració (fonamental).
L’Ainhoa està intrigada per saber a quina altura exploten els coets llançats a la revetlla de Sant Joan. Per a poder-ho determinar se situa a una distància de 50 metres del punt on es llancen els coets i enregistra, amb un sonòmetre, un nivell d’intensitat sonora de 100 decibels en l’explosió d’un coet que no s’ha enlairat.
a)Quina potència sonora emet el coet en el moment de l’explosió? Si l’explosió ha durat 0,03 s, quina energia sonora s’ha alliberat? [1,25 punts]
b)Des de la mateixa distància al punt de llançament, enregistra 90 decibels d’intensitat sonora en el cas d’un coet igual a l’anterior que s’ha enlairat verticalment i ha explotat a certa altura. Calculeu a quina altura ha explotat el coet. Si dos coets idèntics a l’anterior exploten simultàniament a la mateixa altura que abans, quin nivell d’intensitat sonora percebrà l’Ainhoa, si està situada a la mateixa posició d’abans? [1,25 punts]
Nota: Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l’espai i la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques. Dades: I0 = 10–12 W m–2. La velocitat del so en l’aire és de 340 m/s. Superfície esfèrica: 4πr2.
Intensitat a 50 m. β = 10·log(I/I0) → 100 = 10·log(I/10−12) → I = 1010·10−12 = 10−2 W/m2.
Potència. El so es reparteix sobre una esfera de radi r = 50 m: P = I·4πr2 = 10−2·4π·502 = 314,16 W.
Energia alliberada.E = P·t = 314,16·0,03 = 9,42 J.
Com puntua la pauta
0,5Obtenir la intensitat a partir del nivell sonor, I = 10⁻² W/m².
0,5Calcular la potència repartida en una superfície esfèrica, P = I·4πr² = 314,16 W.
0,25Calcular l'energia sonora, E = P·t = 9,42 J.
b)
Intensitat amb 90 dB. 90 = 10·log(I/10−12) → I = 109·10−12 = 10−3 W/m2.
Distància fins a l'explosió. El coet és igual i emet la mateixa potència, que es reparteix en esferes: P = I·4πr2 → r2 = P/(4πI) = 314,16/(4π·10−3) = 25 000 m2 → r = 158,11 m.
Altura. La distància r és la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets 50 m (a terra) i h (vertical). Per Pitàgores: h = √(158,112 − 502) = 150 m. Una altra manera: com que la potència és la mateixa, I2/I1 = r12/r22 → 10−3/10−2 = 0,1 = 502/(h2 + 502) → h2 = 9·502 → h = 3·50 = 150 m.
Esquema a escala de la posició de l'Ainhoa i del punt on explota el coet.
Dos coets alhora. Dos coets iguals a la mateixa altura emeten el doble de potència, i a la posició de l'Ainhoa la intensitat es duplica: β = 10·log(2·10−3/10−12) = 93 dB.
Com puntua la pauta
0,25Obtenir la intensitat que correspon a 90 dB, 10⁻³ W/m².
0,25Calcular la distància a l'explosió amb la mateixa potència: r = 158,11 m.
0,25Aplicar Pitàgores per obtenir l'altura, h = 150 m. (Alternativament, la relació entre intensitats i distàncies dona h = 150 m: 0,5 punts per als dos passos.)
0,5Duplicar la intensitat per als dos coets i calcular el nivell sonor, 93 dB.
Quan dos o més senyals acústics coherents coincideixen en l’espai, les ones es combinen i l’ona resultant és la suma algebraica de les ones individuals. Aquest fenomen es coneix com a interferència. En una experiència d’interferències disposem de dos altaveus connectats a un ordinador i separats entre ells 6,00 m i equidistants de l’ordinador. Ambdós altaveus emeten la mateixa ona harmònica amb una freqüència de 170 Hz i amb la mateixa fase inicial.
Els dos altaveus, l'ordinador i el punt 1, on es troben les rectes R₁ i R₂ (dibuixat a escala).
a)Determineu la longitud d’ona emesa pels altaveus. El punt 1 es troba a una distància de 6,00 m d’un altaveu (recta R1) i a 3,00 m de l’altre altaveu (recta R2). Representeu esquemàticament i en gràfiques separades l’amplitud de l’ona en funció de la posició sobre la recta R1 i sobre la recta R2, i determineu quin tipus d’interferència té lloc al punt 1. Justifiqueu la resposta. [1,25 punts]
b)Determineu com variarà el so pel que fa a la freqüència i la intensitat en les situacions següents: — si un dels altaveus deixa de funcionar. — si l’altaveu de l’esquerra es desplaça 1,00 m al llarg de la recta R1 de manera que el punt 1 queda situat a 5,00 m d’aquest altaveu i es manté a 3,00 m de l’altaveu de la dreta. — si canviem el punt on mesurem la intensitat sonora, i ara el nou punt està a 3,00 m de l’ordinador i equidistant dels dos altaveus. Justifiqueu les respostes. [1,25 punts]
Dada: La velocitat del so en l’aire és de 340 m s–1.
Longitud d'ona. Totes dues ones tenen la mateixa freqüència i viatgen per l'aire a la mateixa velocitat: λ = v/f = 340/170 = λ = 2,00 m.
Ones sobre cada recta. Comptem quantes longituds d'ona caben en cada recorregut: sobre R1, 6,00/2,00 = 3 longituds d’ona; sobre R2, 3,00/2,00 = 1,5 longituds d’ona. Com que els altaveus emeten en fase, les dues gràfiques comencen igual (amplitud nul·la que creix). L'ona de R1 arriba al punt 1 després de tres oscil·lacions completes, i la de R2 després d'una oscil·lació i mitja, de manera que hi arriben en estats de vibració oposats.
Amplitud de cada ona en funció de la posició sobre la recta R₁ (3λ) i sobre la recta R₂ (1,5λ).
Tipus d’interferència al punt 1. La diferència de camins és Δr = 6,00 − 3,00 = 3,00 m = 1,5λ, és a dir, un nombre semienter de longituds d'ona. Les dues ones arriben al punt 1 en oposició de fase: hi ha interferència destructiva, i si les amplituds són iguals no s'hi sent res.
Com puntua la pauta
0,25Calcular la longitud d'ona, λ = v/f = 2 m.
0,5Fer les dues representacions de manera que es vegin 3 longituds d'ona sobre R₁ i 1,5 sobre R₂.
0,5Justificar que la diferència de camins és 1,5λ, que les ones arriben en oposició de fase i que la interferència és destructiva (no se sent res si les amplituds són iguals).
b)
Un altaveu deixa de funcionar. Al punt 1 només arriba una ona i ja no hi ha interferència: es passa de no sentir res a sentir el so d'un sol altaveu. La freqüència continua sent 170 Hz i l'amplitud és la d'un sol altaveu, de manera que la intensitat ja no és nul·la.
L'altaveu de l'esquerra s'acosta 1,00 m. Ara el recorregut per R1 és 5,00 m = 2,5λ (s'ha escurçat 1,00 m = λ/2) i el de R2 continua sent 1,5λ. La diferència de camins és 2,5λ − 1,5λ = λ, un nombre enter de longituds d'ona: les ones arriben en fase i hi ha interferència constructiva. La freqüència és 170 Hz i l'amplitud és la suma de les amplituds de cada altaveu (intensitat màxima).
Punt equidistant dels dos altaveus. Si el nou punt és a la mateixa distància dels dos altaveus, les dues ones fan el mateix recorregut (diferència de camins nul·la) i arriben en fase: també hi ha interferència constructiva. La freqüència continua sent 170 Hz i l'amplitud és la suma de les dues amplituds.
Com puntua la pauta
0,4Un altaveu apagat: sense interferència se sent el so d'un altaveu, amb freqüència 170 Hz i l'amplitud d'un sol altaveu.
0,4Altaveu desplaçat: recorreguts de 2,5λ i 1,5λ, diferència λ, ones en fase i interferència constructiva; 170 Hz i amplitud suma de les dues.
0,45Punt equidistant: mateix recorregut, ones en fase i interferència constructiva; 170 Hz i amplitud suma de les dues.
Des de la platja, observem que la distància entre les crestes de dues onades consecutives és de 4 m. Per altra banda, tot observant una de les boies que limita la zona de bany, comptem que oscil·la 30 vegades en un minut i que el seu desplaçament vertical total, des de la posició més baixa fins al punt més alt, és de 40 cm.
a)Determineu la freqüència, la longitud d’ona i la velocitat de propagació de les ones. Escriviu l’equació que descriu el moviment de la boia en funció del temps. [1,25 punts]
b)Deduïu l’expressió de la velocitat i l’acceleració de la boia i calculeu els valors màxims de la velocitat i l’acceleració. Representeu a la quadrícula de sota l’evolució de la velocitat respecte al temps durant un període. [1,25 punts]Quadrícula per representar la velocitat de la boia.
Nota: Per determinar la fase inicial considereu que al principi la boia es troba en la posició més alta.
Teoria: Què és una ona · També: Moviment harmònic simple
Solució
a)
Longitud d'ona. Dues crestes consecutives estan separades una longitud d'ona: λ = 4 m.
Freqüència. La boia fa 30 oscil·lacions cada 60 s: f = 30 cicles/60 s = 0,50 Hz.
Velocitat de propagació.v = λ·f = 4·0,50 = 2,00 m/s.
Moviment de la boia. La boia puja i baixa amb un MHS: y(t) = A·sin(ωt + φ0).
Amplitud. Del punt més baix al més alt hi ha dues amplituds: 2A = 0,40 m → A = 0,20 m.
Freqüència angular. ω = 2πf = 2π·0,50 = π rad/s.
Fase inicial. A t = 0 la boia és a la posició més alta: A = A·sin φ0 → sin φ0 = 1 → φ0 = π/2 rad.
Equació del moviment.y(t) = 0,2·sin(πt + π/2), amb t en s i y en m. Amb el cosinus, y(t) = A·cos(ωt + φ0), la fase inicial seria φ0 = 0 rad.
Com puntua la pauta
0,1Identificar la longitud d'ona, λ = 4 m.
0,1Calcular la freqüència, f = 0,50 Hz.
0,2Calcular la velocitat de propagació, v = λ·f = 2,00 m/s.
0,2Escriure l'equació general del MHS de la boia.
0,1Obtenir l'amplitud, A = 0,20 m.
0,1Calcular la freqüència angular, ω = π rad/s.
0,2Trobar la fase inicial a partir de y(0) = A: φ₀ = π/2 rad.
0,25Escriure l'equació del moviment, y(t) = 0,2·sin(πt + π/2) (o la forma equivalent amb cosinus).
b)
Velocitat.v(t) = dy/dt = Aω·cos(ωt + φ0) → v(t) = 0,628·cos(πt + π/2), amb t en s i v en m/s. Com que el cosinus val com a màxim 1: vmàx = Aω = 0,20·π = 0,628 m/s.
Acceleració.a(t) = dv/dt = −Aω2·sin(ωt + φ0) = −ω2·y(t) → a(t) = −1,97·sin(πt + π/2), amb t en s i a en m/s2. El valor màxim de −sin(ωt + φ0) és 1: amàx = Aω2 = 0,20·π2 = 1,97 m/s2.
Gràfic de la velocitat. Un període dura T = 1/f = 2 s, que ocupa les quatre divisions grans horitzontals (0,5 s cadascuna). En vertical prenem 0,5 m/s per divisió gran, amb el zero a la línia gruixuda del mig. Com que cos(πt + π/2) = −sin(πt), la velocitat comença a zero (la boia és dalt de tot), arriba a −0,628 m/s a 0,5 s (passa per l'equilibri baixant), torna a zero a 1 s (punt més baix), val 0,628 m/s a 1,5 s i torna a zero a 2 s.
Velocitat de la boia durant un període (escala: 0,5 s i 0,5 m/s per divisió gran).
Com puntua la pauta
0,5Derivar la posició per obtenir v(t) = 0,628·cos(πt + π/2) i el valor màxim, 0,628 m/s.
0,25Derivar la velocitat per obtenir a(t) = −1,97·sin(πt + π/2) i el valor màxim, 1,97 m/s².
0,5Representar la velocitat durant un període amb escala. Es resten 0,1 punts sense títol a l'eix, 0,2 sense unitats i 0,2 si la fase inicial no correspon a l'equació; sense escala o mal representat, zero.
Per a identificar els instruments musicals es pot utilitzar un espectre de freqüències. A la figura següent es representa l’espectre d’un instrument que es vol identificar. L’oboè és un instrument que té un extrem obert i un extrem tancat que és l’embocadura amb una canya. A l’extrem obert, l’amplitud de la vibració de les molècules és màxima: tenim un ventre. En canvi, a l’altre extrem, el tudell per on es bufa és una canya que comunica pressió a l’aire i impedeix que aquest es pugui moure amb llibertat: és un node. D’altra banda, en un piano les cordes estan pinçades pels dos extrems, és a dir, els dos extrems de la corda són nodes.
Espectre de freqüències de l'instrument que es vol identificar.
a)Quina és la freqüència fonamental d’aquest espectre? Determineu si es tracta d’un oboè o d’un piano, i justifiqueu la resposta. Determineu també la llargària del tub o de la corda. [1,25 punts]
b)Un quintet de vent acostuma a estar format per cinc instrumentistes, normalment flauta travessera, oboè, clarinet, trompa i fagot. A l’inici de la interpretació d’una composició tots 5 toquen de forma suau i amb la mateixa intensitat, generant un nivell d’intensitat sonora de 80 dB a un espectador que es troba a una distància d’1,5 m. Quina és la potència sonora de cada instrument? Suposeu que aquesta potència es distribueix uniformement per tota l’àrea d’una semiesfera. [1,25 punts]
Dades: I0 = 10–12 W m–2. La velocitat del so en l’aire és de 340 m s–1.
Freqüència fonamental. El primer pic de l'espectre, el de freqüència més baixa, és l'harmònic fonamental: f1 = 440 Hz.
Harmònics de cada instrument. A la corda del piano els dos extrems són nodes, i hi caben un nombre enter de mitges longituds d'ona: L = n·λ/2 → f = n·v/(2L) = n·f1, amb n = 1, 2, 3… Al tub de l'oboè hi ha un node a l'embocadura i un ventre a l'extrem obert, i hi caben un nombre senar de quarts de longitud d'ona: L = n·λ/4 → f = n·v/(4L) = n·f1, amb n = 1, 3, 5…
Primers modes d'una corda fixa pels dos extrems i d'un tub amb un extrem tancat (node, N) i un d'obert (ventre, V).
Identificació. Si fos un piano, el pic següent seria el segon harmònic, f2 = 2·440 = 880 Hz. En un oboè aquest harmònic no existeix, i el següent és el tercer, f3 = 3·440 = 1 320 Hz. L'espectre no té cap pic a 880 Hz i sí que en té un a 1 320 Hz, de manera que és un oboè.
Llargària del tub. Per al fonamental de l'oboè, f1 = v/(4L) → L = v/(4f1) = 340/(4·440) = 0,193 m.
Com puntua la pauta
0,3Identificar el primer pic de l'espectre com el fonamental, f₁ = 440 Hz.
0,65Relacionar les condicions de contorn amb els harmònics permesos (tots a la corda, només els senars al tub) i concloure que és un oboè perquè després de 440 Hz apareix 1 320 Hz i no 880 Hz.
0,3Calcular la llargària del tub, L = v/(4f₁) = 0,193 m.
b)
Intensitat de cada instrument. Els cinc instruments sonen amb la mateixa intensitat I, i les intensitats se sumen: la total és 5I. Del nivell d'intensitat sonora: β = 10·log(5I/I0) → I = I0·10β/10/5 = 10−12·108/5 = 2,00·10−5 W/m2.
Potència de cada instrument. La potència es reparteix sobre una semiesfera de radi r, d'àrea 2πr2: I = P/(2πr2) → P = I·2πr2 = 2,00·10−5·2π·1,52 = 2,83·10−4 W.
Com puntua la pauta
0,65Plantejar el nivell sonor amb la intensitat total 5I i obtenir la intensitat d'un instrument, 2,00·10⁻⁵ W/m².
0,6Relacionar intensitat i potència amb l'àrea de la semiesfera (2πr²) i obtenir P = 2,83·10⁻⁴ W.
Magnificat en re major (BWV 243) és una de les grans obres vocals de Johann Sebastian Bach, publicada el 1723 i escrita per a cor a cinc veus i orquestra. La corda d’un violí fa 32,5 cm de llargària i la freqüència fonamental corresponent al re major és de 38,89 Hz.
a)Dibuixeu l’harmònic fonamental i el tercer harmònic i indiqueu-ne els nodes i els ventres. Determineu les longituds d’ona de cadascun dels harmònics i calculeu la velocitat de propagació de l’ona que produeix aquesta nota en la corda del violí. Quina serà la freqüència de l’harmònic fonamental si reduïm la llargària de la corda a 27 cm tot mantenint la mateixa tensió a la corda? [1,25 punts]
b)Un espectador situat al segon pis del Palau de la Música Catalana percep un nivell d’intensitat sonora de 30 dB, corresponent al so dels violins, situats a 23 m. Quina és la potència amb què els violins emeten el so? Si, degut a les restriccions per la COVID-19, el nombre de violinistes es redueix a la meitat, quin serà el nivell de la intensitat sonora generada pels violins a 23 m de distància? [1,25 punts]
Dibuix dels harmònics. La corda està subjecta pels dos extrems, que per força són nodes. El fonamental té un sol ventre, al centre; el tercer harmònic té tres ventres i quatre nodes.
Harmònic fonamental (2 nodes, 1 ventre) i tercer harmònic (4 nodes, 3 ventres) de la corda del violí. Les línies contínua i discontínua són les dues posicions extremes de la corda; N = node, V = ventre.
Longitud d'ona del fonamental. Dins la corda hi ha mitja longitud d'ona: λ = 2L = 2·0,325 = 0,65 m.
Longitud d'ona del tercer harmònic. Hi caben tres mitges longituds d'ona: λ = 2L/3 = 2·0,325/3 = 0,217 m.
Velocitat de propagació. Amb les dades del fonamental: v = λ·f = 0,65·38,89 = 25,3 m/s.
Corda més curta: velocitat. La velocitat de les ones en una corda depèn de la tensió i de la massa per unitat de longitud, que no canvien. Per tant, v′ = v = 25,3 m/s.
Nova freqüència fonamental. Amb L′ = 0,27 m, el fonamental té λ′ = 2L′ = 0,54 m, i de v = λ′·f′: f′ = v/λ′ = 25,3/0,54 = 46,8 Hz.
Com puntua la pauta
0,25Dibuixar el fonamental i el tercer harmònic amb un node a cada extrem i els ventres indicats.
0,1Longitud d'ona del fonamental, λ = 2L = 0,65 m.
0,1Longitud d'ona del tercer harmònic, λ = 2L/3 = 0,217 m.
0,3Calcular la velocitat de propagació, v = λ·f = 25,3 m/s.
0,3Raonar que, amb la mateixa tensió, la velocitat de propagació no canvia.
0,1Longitud d'ona del nou fonamental, λ′ = 2L′ = 0,54 m.
0,1Nova freqüència fonamental, f′ = v/λ′ = 46,8 Hz.
b)
Intensitat a 23 m. Aïllem la intensitat de la definició de nivell: β = 10·log(I/I0) → I = I0·10β/10 = 10−12·103 = 10−9 W m−2.
Potència dels violins. Considerant que el so es reparteix sobre una esfera de radi 23 m, I = P/A → P = I·4πr2 = 10−9·4π·232 = 6,65·10−6 W.
Potència amb la meitat de violinistes. Amb la meitat de violins, la potència emesa es redueix a la meitat: P′ = P/2 = 3,32·10−6 W.
Nou nivell d'intensitat. La intensitat també es fa la meitat: I′ = P′/A = I/2 = 5,00·10−10 W m−2, i β′ = 10·log(I′/I0) = 10·log(5,00·10−10/10−12) = 27,0 dB. Equivalentment, β′ = 30 − 10·log 2 = 30 − 3,0 = 27,0 dB.
Com puntua la pauta
0,3Obtenir la intensitat a partir del nivell, I = I₀·10^(β/10) = 10⁻⁹ W m⁻².
0,3Calcular la potència, P = I·4πr² = 6,65·10⁻⁶ W.
0,2Reduir la potència a la meitat, P′ = 3,32·10⁻⁶ W.
0,45Calcular el nou nivell d'intensitat, 27,0 dB (amb I′ = I/2 o restant 10·log 2).
Quan es fa vibrar una corda de 40,0 cm de llargada i fixada pels dos extrems emet un so que, un cop analitzat, produeix l’espectre següent:
Espectre del so emès per la corda.
a)Representeu esquemàticament les ones estacionàries corresponents als pics A, B, C i D indicant tots els nodes i tots els ventres. Calculeu la longitud d’ona de cadascuna d’aquestes quatre ones estacionàries. Quina és la velocitat de propagació? [1,25 punts]
b)La longitud de la corda disminueix fins a 20,0 cm sense que canviï la velocitat de propagació de les ones per la corda. Quines seran les freqüències i les longituds d’ona de les quatre primeres ones estacionàries? [1,25 punts]
Quins harmònics són. Els pics A, B, C i D són a 120, 240, 360 i 480 Hz, és a dir, a 1, 2, 3 i 4 vegades 120 Hz: A és l'harmònic fonamental i B, C i D són el segon, el tercer i el quart harmònic. Com que la corda és fixa pels dos extrems, a cada extrem hi ha un node, i l'harmònic n té n ventres i n + 1 nodes.
Ones estacionàries dels pics A (fonamental), B, C i D (2n, 3r i 4t harmònics). Les línies contínua i discontínua són les dues posicions extremes de la corda; N = node, V = ventre.
Longituds d'ona. Dins la corda hi caben n mitges longituds d'ona, L = n·λ/2: A: λA = 2L = 0,800 m B: λB = L = 0,400 m C: λC = 2L/3 = 0,267 m D: λD = L/2 = 0,200 m
Velocitat de propagació.v = λA/T = λA·fA = 0,800·120 = 96 m/s. Amb qualsevol altre pic surt el mateix: 0,400·240 = 0,267·360 = 0,200·480 = 96 m/s.
Com puntua la pauta
0,6Dibuixar les quatre ones estacionàries amb els nodes i els ventres (−0,2 p si els nodes no són correctes i −0,2 p si no ho són els ventres).
0,1Longitud d'ona de A: λ = 2L = 0,800 m.
0,1Longitud d'ona de B: λ = L = 0,400 m.
0,1Longitud d'ona de C: λ = 2L/3 = 0,267 m.
0,1Longitud d'ona de D: λ = L/2 = 0,200 m.
0,25Calcular la velocitat de propagació, v = λ·f = 96 m/s, amb qualsevol dels harmònics.
b)
Longituds d'ona amb la corda de 20,0 cm. Les relacions λ = 2L/n no canvien, però ara la longitud és la meitat; per tant, les longituds d'ona també es redueixen a la meitat: λA = 2L = 0,400 m, λB = L = 0,200 m, λC = 2L/3 = 0,133 m i λD = L/2 = 0,100 m.
Freqüències. Com que la velocitat és la mateixa, f = v/λ: si la longitud d'ona es fa la meitat, la freqüència es duplica. fA = 240 Hz, fB = 480 Hz, fC = 720 Hz i fD = 960 Hz.
Com puntua la pauta
0,65Raonar que les longituds d'ona es redueixen a la meitat: 0,400, 0,200, 0,133 i 0,100 m.
0,6Deduir amb f = v/λ que les freqüències es dupliquen: 240, 480, 720 i 960 Hz.
La gràfica següent mostra l’energia potencial elàstica d’un oscil·lador harmònic en funció del quadrat de la seva elongació.
L’oscil·lador té una massa de 62,5 g.
Energia potencial elàstica en funció del quadrat de l'elongació.
a)Calculeu el període d’oscil·lació. Si l’oscil·lador descriu un moviment vibratori harmònic amb una amplitud de 60 cm, calculeu-ne l’energia cinètica màxima. [1 punt]
b)L’oscil·lació genera una ona en una corda que es propaga a una velocitat de 30 m s–1. Escriviu l’equació de l’ona que es propaga per la corda. [1 punt]
Pendent de la recta. L'energia potencial elàstica és Ep = ½·k·x2; per tant, si representem Ep en funció de x2, surt una recta que passa per l'origen i té pendent k/2. Llegint el punt (0,25 m2; 200 J): pendent = ΔEp/Δ(x2) = 200/0,25 = 800 J/m2.
Energia cinètica màxima. L'energia cinètica és màxima a la posició d'equilibri, on tota l'energia mecànica és cinètica: Ec,màx = E = ½·k·A2 = ½·1 600·0,602 = 288 J.
Com puntua la pauta
0,2Reconèixer que el pendent de la recta és k/2 i calcular-lo (800 J/m²).
0,2Obtenir la constant elàstica, k = 1 600 N/m.
0,2Calcular el període amb T = 2π·√(m/k): 0,039 s.
0,4Igualar l'energia cinètica màxima a l'energia mecànica ½·k·A² i obtenir 288 J.
b)
Magnituds de l'ona. Cada punt de la corda oscil·la amb el període de l'oscil·lador. La longitud d'ona és λ = v·T = 30·0,0393 = 1,18 m. El nombre d'ona (l'escrivim κ per no confondre'l amb la constant elàstica k) és κ = 2π/λ = 5,33 m−1, i la freqüència angular, ω = 2π/T = √(k/m) = √(1 600/0,0625) = 160 rad/s.
Equació general. Per a una ona harmònica que avança en el sentit positiu de l'eix x, l'elongació transversal y de cada punt de la corda és y(x, t) = A·sin(ωt − κx). Aquí x és la posició al llarg de la corda. També és vàlida la forma amb cosinus o escrita amb T i λ.
Equació amb valors. Amb la mateixa amplitud que l'oscil·lador, A = 0,60 m: y(x, t) = 0,60·sin(160·t − 5,33·x), amb x i y en m i t en s.
Com puntua la pauta
0,4Calcular la longitud d'ona (λ = v·T), el nombre d'ona (5,33 m⁻¹) i la freqüència angular (160 rad/s).
0,2Escriure l'expressió general de l'ona, y(x, t) = A·sin(ωt − κx) o una d'equivalent.
0,4Escriure l'equació amb els valors, y(x, t) = 0,60·sin(160t − 5,33x) en unitats del SI.
Els ratpenats emeten uns xiscles en forma d’ultrasons i utilitzen els ecos d’aquests ultrasons per a orientar-se i per a detectar obstacles i preses. Una espècie de ratpenats emet ultrasons amb una freqüència de 83,0 kHz quan caça mosquits.
El ratpenat i el mosquit en dues posicions: les línies uneixen cada orella amb el mosquit (esquema redibuixat de la figura de l'examen).
a)Calculeu la longitud d’ona i el període dels ultrasons emesos per aquests ratpenats. Considereu un mosquit situat a 1,5000 m de l’orella dreta i a 1,5030 m de l’orella esquerra del ratpenat. Calculeu la diferència de fase en l’eco percebut per cada orella, provinent del mosquit. [1 punt, segons la pauta]
b)Quan el mosquit està més a prop, el ratpenat també podria utilitzar la diferència d’intensitats dels ecos. Calculeu el quocient d’intensitats sonores Idreta/Iesquerra quan el mosquit està a 33 cm de l’orella dreta i a 34 cm de l’orella esquerra i expresseu en decibels la diferència de nivells d’intensitat sonora. Considereu que l’eco es propaga uniformement des del mosquit en totes les direccions de l’espai. [1 punt, segons la pauta]
Dada: Velocitat dels ultrasons en l’aire = 340 m s–1.
Fase a cada orella. L'eco surt del mosquit i viatja fins a cada orella com una ona harmònica y(x, t) = A·sin(ωt − kx), en què x és la distància recorreguda. En un mateix instant, la fase només canvia pel terme kx, de manera que la diferència de fase entre les dues orelles és kx1 − kx2, en valor absolut k·(x2 − x1), amb k = 2π/λ.
Diferència de fase. Δφ = (2π/λ)·(x2 − x1) = 2π/(4,1·10−3)·(1,5030 − 1,5000) = 4,60 rad. Com que una fase es defineix llevat de múltiples de 2π, és equivalent dir que una ona va 2π − 4,60 ≈ 1,68 rad avançada respecte de l'altra (la pauta ho escriu 1,69 rad).
Com puntua la pauta
0,2Calcular la longitud d'ona, λ = v/f = 4,1·10⁻³ m.
0,2Calcular el període, T = 1/f = 1,20·10⁻⁵ s.
0,3Escriure l'equació de l'ona i expressar la diferència de fase com k·x₁ − k·x₂.
0,3Obtenir la diferència de fase, 4,60 rad (o el valor equivalent 2π − 4,60).
b)
Intensitat a una distància R. El mosquit reemet l'ultrasò amb una potència W que es reparteix per igual sobre esferes centrades en ell: I = W/(4πR2). La intensitat és inversament proporcional al quadrat de la distància.
Quocient d'intensitats. Dividint les dues expressions, W i 4π se simplifiquen: Idreta/Iesquerra = Resquerra2/Rdreta2 = 342/332 = 1,06.
Diferència de nivells. Cada nivell és L = 10·log(I/I0). En restar-los, I0 desapareix: Ldreta − Lesquerra = 10·log(Idreta/I0) − 10·log(Iesquerra/I0) = 10·log(Idreta/Iesquerra) = 10·log 1,06 = 0,26 dB.
Com puntua la pauta
0,2Escriure la intensitat d'una ona esfèrica, I = W/(4πR²).
0,3Obtenir el quocient d'intensitats, 34²/33² = 1,06.
0,5Expressar la diferència de nivells com 10·log(I dreta/I esquerra) i obtenir 0,26 dB.
Hem construït aquesta gràfica a partir de dades de freqüència recollides quan una font de so es movia acostant-se a nosaltres (velocitats positives) o allunyant-se’n (velocitats negatives), a velocitats diferents.
Freqüència percebuda en funció de la velocitat de la font (positiva si s’acosta, negativa si s’allunya).
a)Com s’anomena el fenomen que hem estudiat en aquest experiment? La font de so s’acosta a nosaltres amb un moviment rectilini uniforme (MRU) a 100 m s–1 i ens sobrepassa. Quin canvi de freqüència (expressada en Hz) sentirem en el moment en què passi just pel nostre costat? La freqüència que sentirem augmentarà o disminuirà? [1 punt, segons la pauta]
b)La taula següent mostra com disminueix la intensitat sonora quan ens situem a diferents distàncies d’un emissor puntual de so.
Distància (m)
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
I (mW m–2)
0,080
0,020
0,0089
0,0050
0,0032
0,0022
0,0016
Calculeu a quina distància, aproximadament, haurem d’estar perquè el nivell de sensació sonora sigui de 65 dB i calculeu la potència de la font sonora, suposant que emet igual en totes les direccions.
[1 punt, segons la pauta]
Dada: Intensitat del llindar d’audició (0 dB), I0 = 1,00 × 10–12 W m–2
El fenomen. La gràfica mostra que la freqüència que percebem canvia segons la velocitat amb què es mou la font: és l'efecte Doppler.
Lectura de la gràfica. Mentre la font s'acosta a 100 m/s (v = +100 m/s) sentim uns 240 Hz; quan ens ha sobrepassat i s'allunya a la mateixa velocitat (v = −100 m/s), uns 130 Hz. Quan s'acosta sentim la freqüència més alta.
Lectura de la gràfica a +100 m/s (la font s’acosta) i a −100 m/s (la font s’allunya).
Canvi de freqüència. Just quan passa pel nostre costat la freqüència salta de 240 Hz a 130 Hz: ffinal − finicial = 130 − 240 = −110 Hz.
Augmenta o disminueix?. El canvi és negatiu: la freqüència que sentim disminueix (el so es torna més greu).
Com puntua la pauta
0,2Identificar el fenomen com l'efecte Doppler.
0,2Llegir a la gràfica 240 Hz per a +100 m/s i 130 Hz per a −100 m/s, i associar la freqüència alta a la font que s’acosta.
0,4Calcular el canvi, f_final − f_inicial = −110 Hz.
0,2Concloure que la freqüència disminueix.
b)
Nivell de sensació sonora.LI = 10·log(I/I0).
Intensitat corresponent a 65 dB. Aïllant: I = I0·10LI/10 = 1,00·10−12·106,5 = 3,2·10−6 W/m2.
Distància a la taula. 3,2·10−6 W/m2 = 0,0032 mW/m2, que és el valor de la taula per a 25 m.
Potència i intensitat. Si la font emet igual en totes les direccions, la potència es reparteix sobre una esfera de radi R: P = I·4πR2.
Potència de la font.P = 3,2·10−6·4π·252 = 0,025 W.
Com puntua la pauta
0,1Escriure la definició del nivell de sensació sonora, L_I = 10·log(I/I₀).
0,2Aïllar la intensitat, I = I₀·10^(L_I/10).
0,1Obtenir I = 3,2·10⁻⁶ W/m².
0,2Trobar a la taula que aquesta intensitat correspon a 25 m.
0,2Escriure la relació entre potència i intensitat, P = I·4πR².
D’una manera molt simplificada, podem dir que la trompeta és un instrument musical de vent en què les diferents notes són produïdes aplicant aire per un extrem (que es considera tancat a causa de la presència dels llavis del músic) i que s’emeten per l’altre, considerat obert.
Les notes produïdes corresponen a determinats harmònics associats a les ones estacionàries que s’originen a l’instrument. La trompeta consta també de tres pistons que, quan es premen, augmenten de manera efectiva la longitud i canvien les notes emeses.
a)Si la longitud total del tub que representa la trompeta és l0 = 0,975 m, indiqueu quina és la longitud d’ona i la freqüència dels tres primers modes de vibració estacionaris que es poden generar a la trompeta. [1 punt, segons la pauta]
b)Quan el músic fa sonar l’instrument mentre prem el segon pistó, produeix la nota si de la tercera octava, de freqüència f = 247 Hz. Sabent que aquesta nota correspon al segon mode de vibració permès a la cavitat de l’instrument, quina és ara la longitud efectiva de la cavitat? Quin és el recorregut extra Δl que fa l’aire dins de la trompeta quan es prem aquest pistó? [1 punt, segons la pauta]
Condició d'ona estacionària. A l'extrem tancat hi ha d'haver un node i a l'extrem obert, un ventre. Entre un node i el ventre següent hi ha un quart de longitud d'ona, i cada fus addicional n'afegeix mitja. Per tant, la longitud del tub ha de complir l0 = λn/4 + n·λn/2 = (2n + 1)·λn/4, amb n = 0, 1, 2, 3…
Freqüències possibles. Amb λ = v/f, on v és la velocitat del so: fn = v/λn = (2n + 1)·v/(4l0). Només hi ha els múltiples senars de la freqüència més baixa.
Els tres primers modes.n = 0: λ0 = 4·0,975/1 = 3,90 m i f0 = 340/(4·0,975) = 87,2 Hz. n = 1: λ1 = 4·0,975/3 = 1,30 m i f1 = 3·340/(4·0,975) = 262 Hz. n = 2: λ2 = 4·0,975/5 = 0,78 m i f2 = 5·340/(4·0,975) = 436 Hz.
Com puntua la pauta
0,2Plantejar la condició d'ona estacionària en un tub tancat per un extrem: l₀ = (2n + 1)·λₙ/4.
0,2Obtenir les longituds d'ona possibles, λₙ = 4l₀/(2n + 1).
0,3Obtenir les freqüències possibles, fₙ = (2n + 1)·v/(4l₀).
0,1Mode n = 0: 3,90 m i 87,2 Hz.
0,1Mode n = 1: 1,30 m i 262 Hz.
0,1Mode n = 2: 0,78 m i 436 Hz.
b)
Quin mode és. El segon mode permès correspon a n = 1 de les expressions anteriors, és a dir, a una longitud de cavitat l = 3λ/4.
Longitud efectiva. Amb λ = v/f: l = (3/4)·v/f = 3·340/(4·247) = 1,03 m.
Recorregut extra. Δl = l − l0 = 1,032 − 0,975 = 5,7·10−2 m. Si abans de restar s'arrodoneix l a 1,03 m, com fa la pauta, surt 5,5·10−2 m.
Com puntua la pauta
0,2Identificar el segon mode amb n = 1, és a dir, l = 3λ/4.
0,4Calcular la longitud efectiva, l = 3v/(4f) = 1,03 m.
0,4Calcular el recorregut extra, Δl = l − l₀ ≈ 5,5·10⁻² m.
Cadascun dels extrems d’un diapasó presenta un moviment vibratori harmònic amb una freqüència de 1 000 Hz i una amplitud d’1 mm. Aquest moviment genera en l’aire una ona harmònica de so de la mateixa freqüència. El moviment dels dos extrems està en fase.
a)Calculeu, per a un dels extrems del diapasó, l’elongació i la velocitat del seu moviment vibratori quan faci 3,3 · 10–4 s que ha començat a vibrar, comptat a partir de la posició que correspon a la màxima amplitud. [1 punt, segons la pauta]
b)Raoneu si, en l’aire, es produiria el fenomen d’interferència a partir de les ones de so que es generen en els dos extrems del diapasó. Si s’esdevé aquest fenomen, indiqueu en quins punts es produiran els màxims d’interferència. [1 punt, segons la pauta]
Forma general i fase inicial. Escrivim l'elongació d'un extrem com y = A·sin(ωt + φ). Comencem a comptar el temps quan l'extrem és a la posició de màxima amplitud, y(0) = A: sin φ = 1 → φ = π/2 rad.
Equació del moviment. Amb A = 1 mm = 10−3 m, i com que sin(α + π/2) = cos α: y = 10−3·cos(2 000πt), amb y en m i t en s.
Equació de la velocitat. Derivant: v = dy/dt = −10−3·2 000π·sin(2 000πt) → v = −2π·sin(2 000πt), amb v en m/s i t en s.
Valors a t₀ = 3,3·10⁻⁴ s. L'angle és 2 000π·3,3·10−4 = 0,66π rad. Llavors y(t0) = 10−3·cos(0,66π) = −4,82·10−4 m i v(t0) = −2π·sin(0,66π) = −5,51 m/s.
Com puntua la pauta
0,3Imposar que a t = 0 l'extrem és a y = A i obtenir φ = π/2 (o φ = 0 si s'usa el cosinus).
0,1Calcular ω = 2 000π rad/s.
0,2Escriure l'equació de l'elongació amb valors i unitats.
0,2Derivar per obtenir l'equació de la velocitat, amb unitats.
0,1Calcular l'elongació a t₀: −4,82·10⁻⁴ m.
0,1Calcular la velocitat a t₀: −5,51 m/s.
b)
Hi ha interferència. Sí. Els dos extrems emeten ones sonores amb la mateixa freqüència i la mateixa amplitud i, a més, vibren en fase. Són dues fonts coherents, i a cada punt de l'aire on arriben totes dues ones aquestes se superposen: hi ha interferència.
Condició de màxim. Siguin r1 i r2 les distàncies d'un punt a cadascun dels extrems. Les dues ones hi arriben en fase (interferència constructiva) si la diferència de camins és un nombre enter de longituds d'ona: r2 − r1 = n·λ, amb n = 0, ±1, ±2, ±3…
Longitud d'ona. λ = vso a l’aire/f = 340/1 000 = 0,340 m.
Punts de màxim. Els màxims d'interferència són als punts on r2 − r1 = 0,340·n m, amb n = 0, ±1, ±2, ±3…
Com puntua la pauta
0,5Afirmar que hi ha interferència i justificar-ho: mateixa amplitud, mateixa freqüència i fonts en fase (0,3 si només s'afirma).
0,2Condició de màxim: diferència de camins igual a un múltiple de λ.
0,1Calcular λ = v/f = 0,340 m.
0,2Expressar els punts de màxim: r₂ − r₁ = 0,340·n.
El dibuix següent representa una ona estacionària que s’ha generat en una corda tensa quan una ona harmònica que es propagava cap a la dreta s’ha superposat amb la que s’ha reflectit en un extrem.
Ona estacionària a la corda tensa.
a)Indiqueu-ne els nodes. Determineu la distància entre nodes i la longitud d’ona estacionària. Quina és l’amplitud de les ones que, en superposar-se, han originat l’ona estacionària? [1 punt, segons la pauta]
b)Sabent que cada punt de la corda vibra a raó de trenta vegades per segon, escriviu l’equació de l’ona inicial (si suposem que y(0, 0) = 0) i calculeu-ne la velocitat de propagació. [1 punt, segons la pauta]
Nodes. Els nodes són els punts de la corda que no vibren mai, on es creuen les dues corbes del dibuix. N'hi ha quatre: els dos extrems i dos punts interiors.
Els quatre nodes de l'ona estacionària: els dos extrems i els punts situats a 4 m i a 8 m.
Distància entre nodes. Entre el primer i l'últim node hi ha tres fusos, que ocupen els 12 m de la corda: dnodes = 12/3 = 4 m.
Longitud d'ona. Dos nodes consecutius estan separats mitja longitud d'ona: λ = 2·dnodes = 2·4 = 8 m.
Amplitud de les ones que se superposen. Als ventres les dues ones arriben en fase i les seves amplituds se sumen. El dibuix indica 1 cm de l'eix a la cresta, de manera que cada ona té Aindividual = 1/2 = 0,5 cm.
Com puntua la pauta
0,4Assenyalar els quatre nodes (0,1 per node).
0,2Calcular la distància entre nodes, 12/3 = 4 m.
0,2Obtenir λ = 2·d = 8 m.
0,2Deduir que l'amplitud de cada ona és la meitat, 0,5 cm.
b)
Forma de l'equació. L'ona inicial avança cap a la dreta (sentit positiu de l'eix x): y(x, t) = A·sin(ωt − kx + φ).
Nombre d'ona.k = 2π/λ = 2π/8 = π/4 m−1.
Freqüència angular. Cada punt fa 30 vibracions per segon, f = 30 Hz: ω = 2πf = 2π·30 = 60π rad/s.
Fase inicial.y(0, 0) = A·sin φ = 0 → φ = 0.
Equació de l'ona inicial. Amb A = 0,5 cm: y(x, t) = 0,5·sin(60πt − πx/4), amb y en cm, t en s i x en m.
Velocitat de propagació.v = λ·f = 8·30 = 240 m/s.
Com puntua la pauta
0,2Calcular k = 2π/λ = π/4 m⁻¹.
0,2Calcular ω = 2πf = 60π rad/s.
0,1Imposar y(0, 0) = 0 i obtenir φ = 0.
0,2Escriure l'equació de l'ona amb valors i unitats.
0,3Calcular la velocitat de propagació, v = λ·f = 240 m/s.
Un elefant es troba en un parc nacional i, en un moment determinat, és observat per dos investigadors amagats en arbres amb l’objectiu de fer un estudi científic.
3.1.L’elefant bramula i l’observador 1 percep un nivell d’intensitat sonora de 65,0 dB. Aquest observador es troba a una distància horitzontal de 15,0 m de l’elefant i està situat a una altura de 5,00 m sobre el terra. Un segon observador percep el so amb un nivell d’intensitat de 62,0 dB i es troba a una distància horitzontal de 20,0 m de l’elefant. Determineu a quina altura està situat el segon observador. [1,25 punts]L'elefant i els dos observadors amagats als arbres.
3.2.En una altra observació es detecten dos elefants separats 10,0 m sobre el pla. Suposant que tots dos emeten un so coherent a una freqüència de 80,0 Hz, i amb la mateixa amplitud i en fase, determineu en quins punts de la línia recta que uneix els dos elefants no es percep cap so. [1,25 punts]
Dades: Velocitat del so en l’aire = 340 m s–1. I0 = 10–12 W m–2. Nota: Assumiu que el front d’ona és esfèric.
Raó d'intensitats. De β = 10·log(I/I0) s'obté I = I0·10β/10. Dividint les intensitats dels dos observadors, I0 se simplifica: I1/I2 = 10(β1 − β2)/10 = 103/10 = 100,3 = 1,995.
Relació amb les distàncies. La potència de l'elefant es reparteix sobre esferes: I = P/(4πr2). Per tant, I1/I2 = (r2/r1)2 → r2 = r1·√(I1/I2).
Distància de l'elefant a cada observador. L'observador 1 és a r1 = √(15,02 + 5,002) = 15,8 m, i aleshores r2 = 15,8·√1,995 = 22,3 m.
Altura del segon observador.r2 = √(20,02 + h2) → h = √(r22 − 20,02) = √(22,32 − 20,02) = h = 9,94 m (amb r2 sense arrodonir).
Com puntua la pauta
1Passar dels nivells a la raó d'intensitats (I₁/I₂ = 10^0,3 = 1,995), relacionar-la amb (r₂/r₁)², calcular r₁ = 15,8 m i obtenir r₂ = 22,3 m. També es puntua calcular I₁ i I₂, la potència (9,93·10⁻³ W) i r₂ a partir d'I₂.
0,25Calcular l'altura amb Pitàgores: h = 9,94 m.
3.2.
Longitud d'ona. λ = v/f = 340/80,0 = λ = 4,25 m.
Punts entre els dos elefants. Per a un punt del segment que uneix els elefants, siguin x1 i x2 les distàncies que recorren les ones des de cada elefant fins al punt: x1 + x2 = 10,0 m.
Condició d'interferència destructiva. Com que les fonts emeten en fase i amb la mateixa amplitud, no se sent res on la diferència de camins és un nombre semienter de longituds d'ona: |x1 − x2| = (n + ½)·λ, amb n = 0, 1, 2…
Solucions. Per a n = 0: |x1 − x2| = 2,125 m, i amb x1 + x2 = 10,0 m s'obté x1 = 6,06 m i x2 = 3,94 m (o a l'inrevés). Per a n = 1: |x1 − x2| = 6,375 m → x1 = 8,19 m i x2 = 1,81 m (o a l'inrevés). Per a n = 2 la diferència seria 10,625 m, més gran que la separació dels elefants: surt una distància negativa (−0,31 m), fora del segment, i passa el mateix per a valors més grans. Per tant, no se sent res als punts situats a 1,81 m; 3,94 m; 6,06 m i 8,19 m d'un dels elefants.
Com puntua la pauta
0,25Calcular la longitud d'ona: λ = 4,25 m.
0,25Plantejar que, per a un punt entre els elefants, x₁ + x₂ = 10 m.
0,5Resoldre els casos n = 0 i n = 1 (6,06 m, 3,94 m, 8,19 m i 1,81 m) i descartar els següents. Es resten 0,25 si només es donen la meitat de les solucions.
Duem a terme una experiència de ressonància en un tub amb aigua que consisteix a submergir un tub obert pels dos extrems en un recipient que conté aigua, tal com es mostra en la figura de la dreta. Damunt de l’extrem superior del tub fem vibrar un diapasó, que emet un so de freqüència 442 Hz. La longitud de la columna d’aire (L) s’ajusta elevant el tub fora de l’aigua fins a trobar un punt on es produeix la ressonància (se sent una nota intensa). Comencem l’experiència amb tot el tub submergit i observem la primera ressonància quan L = 19,3 cm i la segona ressonància quan L = 58,0 cm.
Muntatge de l'experiència de ressonància: el diapasó vibra damunt del tub i L és la longitud de la columna d'aire.
a)Dibuixeu la forma de l’ona ressonant per a la primera i segona ressonàncies. Indiqueu en tots dos casos de quin harmònic es tracta i identifiqueu els ventres i els nodes. Justifiqueu per què en tots dos casos la longitud d’ona no varia. Determineu la longitud del tub que ha de quedar per sobre de l’aigua quan ressona el cinquè harmònic. [1,25 punts]
b)A partir dels resultats de l’experiència, determineu la velocitat del so a l’aire. Si substituïm l’aigua per glicerina, variarà aquest resultat? Raoneu la resposta. [1,25 punts]
Dades: La velocitat del so a l’aigua és de 1 493 m s–1. La velocitat del so a la glicerina és de 1 904 m s–1.
Forma de les ones ressonants. L'extrem de dalt del tub és obert i hi ha un ventre (V); la superfície de l'aigua fa de fons tancat i hi ha un node (N). La columna d'aire es comporta com un tub tancat per un extrem. La ressonància més curta és la que té només un quart de longitud d'ona entre el ventre i el node: és el primer harmònic (fonamental). La següent té tres quarts de longitud d'ona, amb un node i un ventre entremig: és el tercer harmònic (en aquest tub no hi ha harmònics parells).
Primera i segona ressonàncies: ventre (V) a l'extrem obert i node (N) a la superfície de l'aigua.
Longituds d'ona. Primer harmònic: L = λ/4 → λ1 = 4L = 4·0,193 = 0,7720 m. Tercer harmònic: L = λ3/4 + λ3/2 = 3λ3/4 → λ3 = 4L/3 = 4·0,580/3 = 0,7733 m.
Per què la longitud d'ona no varia. Totes dues ressonàncies les provoca el mateix diapasó, de manera que la freqüència és la mateixa (442 Hz), i l'ona es propaga pel mateix medi, l'aire, amb la mateixa velocitat c. Com que λ = c/f, la longitud d'ona també ha de ser la mateixa; el que canvia és quantes vegades λ/4 caben a la columna.
Cinquè harmònic. Ara hi caben cinc quarts de longitud d'ona: L = λ5/4 + λ5 = 5λ5/4. Prenent la mitjana dels dos valors anteriors, λ = 0,7727 m: L = 5·0,7727/4 = 0,966 m de tub per sobre de l'aigua. També és vàlid fer-ho amb λ1 o amb λ3.
Cinquè harmònic: L = 5λ/4.
Com puntua la pauta
0,7Dibuixar les dues ressonàncies amb els nodes (a l'aigua) i els ventres (a l'extrem obert) i identificar-les com el primer i el tercer harmònic. Es resten 0,2 per nodes mal identificats, 0,2 per ventres, 0,1 si no es diu que la primera és el primer harmònic i 0,2 si no es diu que la segona és el tercer.
0,15Calcular λ₁ = 4L = 0,7720 m i λ₃ = 4L/3 = 0,7733 m.
0,2Justificar que λ no varia perquè la freqüència i la velocitat de propagació són les mateixes (λ = c/f).
0,2Obtenir la longitud per al cinquè harmònic, L = 5λ/4 = 0,966 m.
b)
Velocitat del so a l'aire.c = λ·f = 0,7727·442 = 341,5 m/s ≈ 340 m/s.
Amb glicerina.No variarà. L'ona que ressona i que sentim es propaga per la columna d'aire; el líquid només fa de fons tancat on hi ha el node. La velocitat de propagació és la del so a l'aire en tots dos casos, uns 340 m/s, i les dades de la velocitat del so a l'aigua i a la glicerina no hi intervenen.
Com puntua la pauta
0,65Calcular la velocitat del so a l'aire, c = λ·f ≈ 340 m/s.
0,6Raonar que no varia perquè l'ona es propaga per l'aire i la velocitat és la mateixa en tots dos casos.
El moviment d’una anguila es pot aproximar al d’una ona harmònica transversal que es propaga des del cap fins a la cua. Per a estudiar-ne el moviment hem de simplificar: no considerem l’aportació al moviment de la resta de músculs del cos, i suposem, simplement, que l’ona es genera al cap de l’anguila, que vibra amb una freqüència de 0,50 Hz i amb una amplitud de 5,00 cm. La distància entre dos punts consecutius del cos de l’anguila que estan en el mateix estat de vibració és de 20,0 cm.
L'anguila i el sistema de coordenades: el cap és sempre a l'origen i l'ona avança cap a les x positives.
a)Calculeu la velocitat a la qual es propaga l’ona pel cos de l’anguila, la freqüència angular i el nombre d’ona. Si a l’instant inicial el cap té una elongació zero i la velocitat d’oscil·lació transversal és positiva, determineu l’expressió de l’equació d’ona. Per a l’equació d’ona utilitzeu el sistema de coordenades de la figura superior, on el cap de l’anguila es troba sempre a l’origen de les abscisses. [1,25 punts]
b)A partir de l’equació d’ona, deduïu i calculeu els mòduls de la velocitat i de l’acceleració màximes de l’oscil·lació transversal. Si la longitud total de l’anguila és de 58,0 cm, calculeu també la velocitat i l’acceleració transversals a la cua 10 s més tard d’haver iniciat el moviment. [1,25 punts]
Longitud d'ona. Dos punts consecutius que vibren igual (en el mateix estat de vibració) estan separats exactament una longitud d'ona: λ = 20,0 cm = 0,20 m.
Velocitat de propagació.v = λ·f = 0,20·0,50 = 0,10 m/s.
Forma general de l'ona i velocitat transversal. L'ona viatja cap a les x positives, de manera que la podem escriure y(x, t) = A·sin(kx − ωt + φ0). Derivant respecte del temps obtenim la velocitat d'oscil·lació transversal: v(x, t) = ∂y/∂t = −Aω·cos(kx − ωt + φ0).
Condició d'elongació nul·la. El cap (x = 0) té elongació zero a t = 0: y(0, 0) = A·sin φ0 = 0 → φ0 = 0 rad o bé φ0 = π rad.
Condició de velocitat positiva.v(0, 0) = −Aω·cos φ0. Amb φ0 = 0 surt v(0, 0) = −Aω < 0, que no compleix l'enunciat; amb φ0 = π surt v(0, 0) = +Aω > 0. Per tant, φ0 = π rad.
Equació d'ona. Amb A = 0,05 m: y(x, t) = 0,05·sin(10πx − πt + π), amb x i y en m i t en s, que és el mateix que y(x, t) = 0,05·sin(πt − 10πx). Si es parteix del cosinus, y = A·cos(kx − ωt + φ0), les mateixes condicions donen φ0 = π/2 rad: y(x, t) = 0,05·cos(10πx − πt + π/2). També són vàlides les fases escrites com ωt − kx + φ0, k(x − vt) + φ0 o 2π(x/λ − t/T) + φ0.
Com puntua la pauta
0,1Identificar la distància entre punts en el mateix estat de vibració amb la longitud d'ona, λ = 0,20 m.
0,1Calcular la velocitat de propagació, v = λ·f = 0,1 m/s.
0,1Calcular la freqüència angular, ω = π rad/s.
0,1Calcular el nombre d'ona, k = 10π m⁻¹.
0,85Escriure l'equació d'ona i trobar-ne la fase inicial amb les dues condicions inicials (φ₀ = π amb el sinus). Es resten 0,25 punts si no s'analitza la condició d'elongació nul·la i 0,25 si no s'analitza la de velocitat positiva.
b)
Velocitat transversal màxima. Derivem l'equació d'ona respecte del temps: v(x, t) = ∂y/∂t = −Aω·cos(kx − ωt + φ0). El mòdul és màxim quan el cosinus val ±1: vmàx = Aω = 0,05·π = 0,157 m/s.
Acceleració transversal màxima. Tornem a derivar: a(x, t) = ∂v/∂t = −Aω2·sin(kx − ωt + φ0). El mòdul és màxim quan el sinus val ±1: amàx = Aω2 = 0,05·π2 = 0,493 m/s2.
Velocitat a la cua. La cua és a x = 0,58 m. A t = 10 s: v(0,58; 10) = −0,157·cos(10π·0,58 − π·10 + π) = 0,127 m/s.
Acceleració a la cua.a(0,58; 10) = −0,493·sin(10π·0,58 − π·10 + π) = −0,290 m/s2.
Com puntua la pauta
0,35Derivar l'equació d'ona per obtenir v(x, t) i deduir-ne el valor màxim, Aω = 0,157 m/s (no val donar l'expressió directament).
0,3Derivar v(x, t) per obtenir a(x, t) i deduir-ne el valor màxim, Aω² = 0,493 m/s².
0,3Calcular la velocitat transversal de la cua a t = 10 s: 0,127 m/s.
0,3Calcular l'acceleració transversal de la cua a t = 10 s: −0,290 m/s².
La figura mostra la gràfica posició-temps d’un objecte que descriu un moviment harmònic simple (MHS).
Posició de l'objecte en funció del temps.
a)Determineu l’amplitud i la freqüència i escriviu l’equació del moviment x(t), incloent-hi totes les unitats. Representeu la gràfica x-t d’un moviment harmònic simple (MHS) que tingui la mateixa amplitud però la meitat de freqüència (les escales dels eixos han d’estar indicades clarament). [1 punt]Eixos per dibuixar-hi la gràfica demanada (mateixes escales que la figura de l'enunciat).
b)Les vibracions de l’objecte generen una ona sonora en el medi que l’envolta. Quins efectes sobre la freqüència i la longitud d’ona d’aquesta ona sonora tindran els canvis següents? — L’ona es reflecteix en una superfície. [0,3 punts] — L’ona passa de l’aire a l’aigua (on la velocitat del so és més gran). [0,3 punts] — El focus sonor es posa en moviment en direcció a nosaltres. [0,4 punts] [1 punt]
Teoria: Què és una ona · També: Moviment harmònic simple
Solució
a)
Amplitud. El valor màxim de la posició a la gràfica és A = 0,02 m.
Període i freqüència. Entre t = 0 i t = 0,04 s hi ha 5 oscil·lacions completes, per tant T = 0,04/5 = 0,008 s i f = 1/T = 1/0,008 = 125 Hz.
Equació general. Escrivim x(t) = A·cos(2πf·t + θ0). A t = 0 l'objecte és a x = +A, de manera que amb el cosinus la fase inicial és θ0 = 0.
Equació amb valors. 2πf = 2π·125 = 250π rad/s ≈ 785 rad/s, i queda x(t) = 0,02·cos(250π·t), amb x en m i t en s. Amb el sinus caldria una fase de π/2 rad: x(t) = 0,02·sin(250π·t + π/2).
Gràfica amb la meitat de freqüència. Ara f′ = 125/2 = 62,5 Hz i el període es duplica: T′ = 1/62,5 = 0,016 s. Amb la mateixa amplitud (0,02 m) i la mateixa fase inicial, la corba comença al màxim i fa 5 oscil·lacions completes en 0,08 s (la meitat que l'original).
MHS amb la mateixa amplitud i la meitat de freqüència: f′ = 62,5 Hz, T′ = 0,016 s.
Com puntua la pauta
0,1Llegir l'amplitud, A = 0,02 m.
0,2Obtenir el període (0,008 s) i la freqüència, f = 125 Hz.
0,1Escriure la forma general x(t) = A·cos(2πf·t + θ0).
0,2Escriure l'equació amb els valors i les unitats, x(t) = 0,02·cos(250π·t) m (o l'equivalent amb sinus).
0,2Dibuixar correctament la gràfica nova, amb les escales indicades.
0,2Indicar la nova freqüència (62,5 Hz) i el nou període (0,016 s).
b)
Reflexió. L'ona reflectida continua en el mateix medi, amb la mateixa velocitat, i la freqüència la fixa la font: ni la freqüència ni la longitud d'ona no canvien.
Pas de l'aire a l'aigua. La freqüència depèn només de la font, de manera que no varia. La velocitat augmenta i, com que λ = v/f, la freqüència es manté i la longitud d'ona augmenta.
Font que s'acosta. És l'efecte Doppler: la font s'acosta mentre emet i els fronts d'ona que ens arriben són més junts. Percebem una freqüència més gran i una longitud d'ona més petita.
Com puntua la pauta
0,3Reflexió: la freqüència i la longitud d'ona no canvien.
0,3Aire → aigua: la freqüència no canvia i la longitud d'ona augmenta.
0,4Font que s'acosta (Doppler): la freqüència percebuda augmenta i la longitud d'ona disminueix.
Dos altaveus estan separats entre si una distància 2d i emeten un senyal harmònic i en fase. Produïm el so amb un generador de senyals que podem ajustar entre els 200 i els 400 Hz. La persona A està situada a d1 = 5,00 m de l’altaveu 1 i a d2 = 8,68 m de l’altaveu 2. Una segona persona B està situada a d′1 = 8,14 m de l’altaveu 1 i a d′2 = 4,00 m de l’altaveu 2.
Els dos altaveus i les posicions de les persones A i B.
a)Calculeu totes les freqüències que podem escollir en el generador perquè la persona A senti els senyals amb una intensitat màxima. Quina freqüència de les anteriors hem d’escollir perquè la persona A senti el senyal amb intensitat màxima i la persona B no el pugui sentir (és a dir, el senti amb intensitat mínima)? [1,25 punts]
b)Ara emetem música pels dos altaveus amb una potència de 2,36 × 10–3 W cadascun. Calculeu la intensitat sonora generada per cada altaveu en la posició de la persona A. Determineu el nivell d’intensitat sonora que percep aquesta persona. [1,25 punts]
Nota: Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l’espai i que la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques. Dades: I0 = 10–12 W m–2. Velocitat del so en l’aire: 340 m/s. Superfície esfèrica: 4πr2.
Condició de màxim a A. A cada persona li arriben les dues ones, que interfereixen. Com que els altaveus emeten en fase, la intensitat a A és màxima (interferència constructiva) si la diferència de camins és un nombre enter de longituds d'ona: |d2 − d1| = 8,68 − 5,00 = 3,68 m = n·λ, amb n enter.
Freqüències corresponents. De λ = 3,68/n i f = v/λ: f = n·340/3,68 = n·92,4 Hz.
Freqüències entre 200 i 400 Hz. Per a n = 2 surt 185 Hz i per a n = 5, 462 Hz, fora de l'interval. Només serveixen n = 3 i n = 4: f = 277,2 Hz i f = 369,6 Hz.
Condició de mínim a B. Perquè B no senti el so cal interferència destructiva a B: la diferència de camins ha de ser un nombre semienter de longituds d'ona, |d′2 − d′1| = 8,14 − 4,00 = 4,14 m = (n + ½)·λ.
Freqüències entre 200 i 400 Hz i freqüència comuna. Per a n = 2, 3 i 4 s'obté f = 205,3 Hz; 287,4 Hz; 369,6 Hz. L'única freqüència que compleix alhora les dues condicions és f = 369,6 Hz: A sent el so amb intensitat màxima i B amb intensitat mínima.
Com puntua la pauta
0,15Relacionar la intensitat màxima a A amb la interferència constructiva: |d₂ − d₁| = 3,68 m = nλ.
0,1Expressar les freqüències: f = n·340/3,68 Hz.
0,25Trobar les de l'interval 200–400 Hz: 277,17 Hz i 369,56 Hz.
0,15Relacionar el mínim a B amb la interferència destructiva: |d′₂ − d′₁| = 4,14 m = (n + ½)λ.
0,1Expressar les freqüències: f = (n + ½)·340/4,14 Hz.
0,5Trobar les de l'interval (205,31 Hz, 287,44 Hz i 369,56 Hz) i veure que 369,56 Hz compleix les dues condicions.
b)
Intensitat de cada altaveu a A. L'energia de cada altaveu es reparteix sobre una esfera de radi igual a la distància: I1 = P/(4πd12) = 2,36·10−3/(4π·5,002) = 7,51·10−6 W/m2; I2 = P/(4πd22) = 2,36·10−3/(4π·8,682) = 2,49·10−6 W/m2.
Intensitat total. La intensitat que rep A és la suma de les dues: I = I1 + I2 = 7,51·10−6 + 2,49·10−6 = 1,00·10−5 W/m2.